西南交通大学振动力学-第-2-章(II)-单自由度系统的强迫振动

第2章单自由度系统的振动李映辉西南交通大学2015.092019年11月28日《振动力学》22019年11月28日中国力学学会学术大会‘2005’22019年11月28日2声明•本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。•不可用于任何商业目的。•本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利益，作者在此致歉。•本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。2019年11月28日《振动力学》3教学内容单自由度系统振动2019年11月28日《振动力学》3教学内容运动方程建立等效质量、等效刚度与等效阻尼单自由度系统的自由振动无阻尼自由振动能量法瑞利法阻尼自由振动单自由度系统的强迫振动2019年11月28日《振动力学》4教学内容单自由度系统振动2019年11月28日《振动力学》4单自由度系统的强迫振动简谐激励引起的强迫振动偏心质量引起的强迫振动支承运动引起的强迫振动隔振原理测振原理简谐激振力的功任意周期激励的响应任意激振的响应《振动力学》5单自由度系统的振动2-4单自由度系统的强迫振动•简谐激励所引起的系统响应•周期激励所引起的系统响应•任意激励所引起的系统响应1.简谐激振力引起的强迫振动（1）运动微分方程及求解图2-27为单自由度系统受简谐激振力的力学模型。简谐力F=F0sin0t,0为激振频率，则系统运动微分方程为上式坐标原点在静平衡位置。方程（2-35）的解可表示为图2-2700sin(235)mxcxkxFt12()()()xtxtxtF=F0sin0t2019年11月28日振动力学600sinmxcxkxFt振动微分方程：显含时间t非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋（阻尼）自由振动逐渐衰减瞬态响应持续等幅振动稳态响应本节内容单自由度系统受迫振动/简谐力激励的强迫振动《振动力学》7单自由度系统的振动其中x1(t)为齐次方程通解，称为瞬态响应，在弱阻尼情况下x2(t)为特解，称为稳态响应，令其形式为为求B和将x2(t)代入式（2-35）整理得令0/=,称为频率比，则则（2-37）为系统稳态响应相位角112()(cos'sin')txteDtDt20()sin()(236)xtBt022200(237)()()FBkmc22200002,22mckk0222/(238)(1)(2)FkB020222/()sin()(239)(1)(2)Fkxtt0222arctan()arctan()(240)1ckm《振动力学》8单自由度系统的振动系统的阻尼的存在，使系统的稳态响应在相位上比激振力之后角。若没有阻尼，即ζ=0，则=0，此时激振力与响应同相位。强迫振动性质：1）简谐激励下，稳态响应为简谐运动，其频率与激振频率0相同。2）稳态响应振幅B和相位差只决定于系统本身的物理性质和激振力的振幅大小与频率，与初始条件无关；3)初始条件只影响系统的瞬态响应;记B0=F0/k，则4)影响稳态响应幅值因素有3个：B0、λ、ζB0反映了激振力的影响，因此改变振幅方法之一是改变激振幅值。反映激励频率的影响。ζ反映阻尼的影响。式（2-41）写为0222(241)(1)(2)BB《振动力学》9单自由度系统的振动称为动力放大系数，是评估机械系统动态工作环境的重要指标之一。为了分析系统的特性，以频率比为横坐标，为纵坐标、以阻尼比ζ为参数画出一组曲线，称为幅频响应曲线。可见：①.1时，即激振力频率0远小于系统固有频率，无论阻尼的大小如何，动力放大系数，振幅近似等于F0作用下的静位移，该区域振幅B主要由弹簧常数k控制，故称为“弹簧控制区”。②.1时，即0远大于时，无论阻尼大小如何，，此时22201=(242)(1)(2)BB图2-28001FBBBk，0200022200==FFFBkkm《振动力学》10单自由度系统的振动振幅大小主要决定于系统惯性，这一区域称为“惯性控制区”。对启动次数不多的高速旋转机械，在通过共振区后就有抑制振幅的预防措施，在越过共振区到达高速旋转时，振幅反而很小，旋转更趋平衡。③.λ≈1时，即0接近，振幅大小与阻尼情况极为密切。在ζ较小的情况下，振幅B可以很大，在ζ→0的情况下，振幅B趋向无穷大。因为可见惯性力和弹性力基本平衡，从而有激振力与阻尼力相平衡，即有Bc0=F0，B=F0/c0,因此阻尼对系统响应有着决定性影响，振幅B大小随阻尼c而定，这一区域称为“阻尼控制区”。2200,mBmBkB故《振动力学》11单自由度系统的振动激振力频率0与系统固有频率相等时，称为共振。实际上当有阻尼作用时，振幅最大不在0=处可见，响应的峰值出现在0比略小的地方。实际上，阻尼往往比较小，所以一般以0=作为共振频率。相对阻尼系数ζ对振幅的影响，从幅频响应曲线可以看出阻尼在共振附近一定范围内，对减小振幅有显著作用，增加阻尼，振幅可以明显下降。20==1-21(2-43)《振动力学》12单自由度系统的振动在共振时，=1，振幅由式（2-41）知在离开共振稍远的范围，阻尼对减小振幅的作用是不大的，尤其当0时，阻尼对振幅几乎没有什么作用。④.共振时的动力放大系数称为“品质因子”用符号Q表示。由式（2-42），当=1时在频率比为=1的虚线两侧，曲线可以近似地认为是对称的，作的一条水平线与响应曲线交于q1和q2两点，称为半功率点，其对应的频率比为1和2。对于半功率点q1和q2，由式(2-42)与式（2-44）得00max2BFBc图2-291(244)2Q/2Q2211222(1)(2)Q《振动力学》13单自由度系统的振动从上式可解出两个根，这里1和2就是半功率点的横坐标，λ2-λ2=2ζ或ω2–ω1称为系统的带宽，于是Q值可表示为当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以品质因子反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。式（2-45）提供了由试验估算系统阻尼比的方法。半功率点q1和q2处的相位角由式（2-40）估算如下：121,1212111(245)2Q11221122222222(1)tan111(1)4522(1)tan111(1)135。。《振动力学》14单自由度系统的振动⑤.相位差与频率比、阻尼比关系曲线如图2-30，称为相频响应曲线。a.当=1，即共振时，不管系统阻尼如何，响应总是滞后于激振力90°；b.若=0，相位角仅是0°或180°。相位在共振点前后发生突变；c.若0，则随增大而逐渐增大，不会发生突变，但在共振点，特别当较小时，相位角变化较大。图2-302019年11月28日《振动力学》15《振动力学》15单自由度系统的振动（2）系统初始阶段的响应a)响应特征在简谐激振力作用下系统的总响应为由两种不同频率和振幅的简谐运动叠加而成的比较复杂的运动。实线表示某种情况下两种运动叠加的结果。虚线表示等幅运动。经过一段时间后，实线逐渐与虚线相重合而成为单纯的稳态振动。120()()()(246)sin(')sin()txtxtxtAetBt《振动力学》16单自由度系统的振动b)积分常数特征1）式（2-46）中的积分常数A、虽然仍由初始条件定，但在此情况下不能按自由振动得到的积分常数直接代入；2）强迫振动情况下，即使初位移和初速度均为零，在响应中仍包含瞬态部分，积分常数必须与稳态解一起考虑。如无阻尼，将式（2-46）改写为设t=0时，,代入初始条件得图2-31002sin()sin()(247)1FtxtAtk0,0xx002,0(1)FAk《振动力学》17单自由度系统的振动代入（2-47）得可见：1）强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向于零。2）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。3）因此实验中测定强迫振动振幅时，应该在经过一段时间稳定以后再测量，否则可能测到的是两部分振动之和。0002()(sinsin)(248)(1)Fxtttk2019年11月28日《振动力学》1818单自由度系统的振动c)一般初值响应如果初始条件是t=0,，由式（2-46），在简谐激振力作用下系统初始阶段的响应为其中00,xxxx0sin(')sin()txAetBt2200000000222sincos()(sin)''(sin)arctan(249)sincos/(1)(2)xxBBAxBxBxxBBFkB22000000()''arctanxxAxxxx自由振动《振动力学》19单自由度系统的振动d)激振力频率0等于或接近于自由振动频率情形引入ω–ω0=2ε考虑式（2-48），当ε很小时，则式（2-50）中ε很小，sinεt变化缓慢，周期2π/ε很大。式（2-50）可看成周期为2π/、可变振幅等于的振动。这种现象称为拍，按图2-32中规律变化。拍的周期为π/ε。0sincos(250)2Ftxtm0(/2)sinFmt图2-322019年11月28日《振动力学》20《振动力学》20单自由度系统的振动当0接近时说明共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限的增大，拍的周期称为无穷大，如图2-33。0cos2Ftxtm图2-33《振动力学》21单自由度系统的振动例2-17如图2-26所示系统，若m=20kg，k=8kN/m，c=130N.s/m，受到F(t)=24sin15t(N)的激振力作用；设t=0时，,求系统的稳态响应、瞬态响应和总响应。解：稳态响应：(0)0,(0)100/xxmms图2-2622800020/20/2130/(22020)0.1625'12010.162519.73/kradsmcmrads002222222sin()()(1)(2)24sin(15)80001515[1()](20.1625)20200.006sin(15)6sin(15)FtxtktttF(t)《振动力学》22单自由度系统的振动瞬态响应：总响应为由初始条件得总响应为221520.1625220arctanarctan29.121511()20。3.251()sin(')sin(19.73)ttxtAetAet3.25()sin(19.73)6sin(1529.12)txtAett。(0)0sin6sin(29.12)(0)100xAx。3.31,61.82A。3.25()3.31sin(19.7361.82)6sin(1529.12)txtett。。2019年11月28日《振动力学》232019年11月28日《振动力学》23作业单自由度系统自由振动•第48页2.11,2.12,2.13,2.142019年11月28日《振动力学》2420