数列相关习题及解析

1数列题型一、选择题1．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么由an+bn所组成的数列的第37项值为（）A．0B．37C．100D．－372．设{an}为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为（）①{an2}②{pan}③{pan+q}④{nan}（p、q为非零常数）A．1B．2C．3D．43．在等差数列{an}中，a10，且3a8=5a13，则Sn中最大的是（）A．S21B．S20C．S11D．S104．在{an}中，a1=15，3an+1=3an－2（n∈N*），则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（）A．a21和a22B．a22和a23C．a23和a24D．a24和a255．若数列{an}前n项和Sn=n2－2n+3，则这个数列的前3项为（）A．－1，1，3B．2，1，0C．2，1，3D．2，1，66．数列{an}中，an+1=nnaa31，a1=2，则a4为（）A．58B．192C．516D．787．设{an}是等差数列，公差为d，Sn是其前n项和，且S5S6，S6=S7S8．下列结论错误的是（）A．d0B．a7=02C．S9S5D．S6和S7为Sn最大值8．在等差数列{an}中，已知a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．－20B．－2021C．－2121D．－229．设f（n）=11n+21n+…+n21（n∈N*），那么f（n+1）－f（n）等于（）A．121nB．221nC．121n+221nD．121n－221n10．依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）．近似地满足Sn=90n（21n－n2－5），（n=1，2，…，12），则按此预测在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是（）A．5月、6月B．6月、7日C．7月、8日D．8月、9日二、填空题11．等差数列{an}中，a1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项．12．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______．13．在等差数列{an}中，满足3a4=7a7．且a10，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n=_______．14．已知f（n+1）=f（n）－41（n∈N*）且f（2）=2，则f（101）=_______．3三、解答题15．（本小题满分8分）在等差数列{an}中，a1=－60，a17=－12．（1）求通项an，（2）求此数列前30项的绝对值的和．16．（本小题满分10分）设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{nSn}的前n项和，求Tn．17．（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S120，S130．（1）求公差d的取值范围；（2）指出S1，S2，S3…S12中哪一个值最大？并说明理由．18．（本小题满分12分）已知f（x+1）=x2－4，等差数列{an}中，a1=f（x－1），a2=－23，a3=f（x）．（1）求x值；（2）求a2+a5+a8+…+a26的值．19．（本小题满分12分）设两个方程x2－x+a=0和x2－x+b=0的四个根成首项为41的等差数列，求a+b的值．答案解析1.【解析】∵{an}、{bn}为等差数列，∴{an+bn}也为等差数列，设cn=an+bn，则c1=a1+b1=100，而c2=a2+b2=100，故d=c2－c1=0，∴c37=100．【答案】C42【解析】{pan}、{pan+q}的公差为pd（设{an}公差为d），而{nan}、{an2}不符合等差数列定义．【答案】B3.【解析】3a8=5a13d=－392a10．an≥0n≤20．【答案】B4.【解析】an+1－an=32，∴an=15+（n－1）（－32）=3247n．an+1an031（45－2n）31（47－2n）0245n247．∴n=23．【答案】C5.【解析】a1=S1=2，又a3=S3－S2=3．【答案】C6.【解析】11na=na1+3，∴na1=11a+3（n－1）=3n－25，∴a4=192．【答案】B7【解析】∵S5S6，S6=S7S8．由S6=S7a7=0，S7S8d0．显然S6=S7且最大．【答案】C8【解析】∵a51+a52+…+a100=（a1+a2+…+a50）+50×50d=2700．∴d=1，S50=50a1+24950×1a1=－2021．【答案】B9【解析】f（n+1）=21n+31n+…+n21+121n+221n．5【答案】D10【解析】第n个月需求量an=Sn－Sn－1=301（－n2+15n+9），an1．5得301（－n2+15n+9）1．5．解得：6n9，∴n=7或8．【答案】C11【解析】由－5×11+21011d=55，得d=2．由an=5，an=a1+（n－1）d得n=6．【答案】612【解析】an=35－4n．由0)1(4350435nn7843n43得a8=3，a9=－1，∴最接近的为a9=－1．【答案】－113【解析】设公差为d，得3（a1+3d）=7（a1+6d），∴d=－334a10，令an0．解得n437，即n≤9时，an0．同理，n≥10时，an0．∴S9最大，故n=9．【答案】914【解析】f（n+1）－f（n）=－41，f（n）可看作是公差为－41的等差数列，f（101）=f（2）+99d=－491．【答案】－49115【解】（1）a17=a1+16d，即－12=－60+16d，∴d=3，∴an=－60+36（n－1）=3n－63．（2）由an≤0，则3n－63≤0n≤21，∴|a1|+|a2|+…+|a30|=－（a1+a2+…+a21）+（a22+a23+…+a30）=（3+6+9+…+60）+（3+6+…+27）=2)603(×20+2)273(×9=765．16【解】设等差数列{an}公差为d，则Sn=na1+21n（n－1）d∵S7=7，S15=75，∴7510515721711dada∴a1=－2，d=1，∴nSn=a1+21（n－1）d=－2+21（n－1）∵11nSn－nSn=21∴{nSn}为等差数列，其首项为－2，公差为21，∴Tn=41n2－49n．17【解】（1）依题意②①0212131302111212113112daSdaS即06011211dada，由a3=a1+2d=12得a1=12－2d，代入①②－724d－3．（2）由d0，可知a1a2…a12a13．因此若在1≤n≤12中存在自然数n，使an0，an+10时，则Sn就是S1，S2…S12中最大值由于01220132121116131317SaaaSaaa∴在S1，S2…S11，S12中S6的值最大．18【解】（1）∵f（x－1）=（x－1－1）2－4=（x－2）2－4∴f（x）=（x－1）2－4，∴a1=（x－2）2－4，a3=（x－1）2－47又a1+a3=2a2，解得x=0或x=3．（2）∵a1、a2、a3分别为0、－23、－3或－3、－23、0∴an=－23（n－1）或an=23（n－3）①当an=－23（n－1）时，a2+a5+…+a26=29（a2+a26）=2351②当an=23（n－3）时，a2+a5+…+a26=29（a2+a26）=2297．19【解】不妨设ab，函数y=x2－x+a与y=x2－x+b的对称轴，开口大小均相同，如图所示．设数列为x1、x2、x3、x4，由已知x1=41．∵x1+x4=1，∴x4=43．又∵x4=x1+3d，∴43=41+3d，∴d=61∴x2=x1+d=125，x3=x2+d=127∴a=x1·x4=163，b=x2·x3=125×127=14435，∴a+b=7231．