数列极限的概念[1][1].1

上海市北郊高级中学宫丽君关于数列概念应注意以下几点例如数列实际上就是函数的函数值,1,,41,31,21,1n11,2,3,4,nann(2)数列一般有三种表示方式①一般形式.如②函数形式.如数列③简化形式.如数列,1,,54,43,32,21nnNnnnnf,1)(1nn(1)数列实际上是定义在正整数集合（子集）上的函数,将其函数值按正整数依次增大的顺序排列起来所得到的.因此数列也常常记作()nafn*nN复习割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。刘徽感受极限过程•刘徽是世界上最早使用数列极限思想解决实际问题的大数学家•模拟“割圆术”，来具体的感受到“无穷数列的变化趋势”。情景1让我们一起观看一段演示3S4S5S6S7S8S圆S随着圆内接正多边形边数的不断增加,其圆内接正多边形的面积愈来愈趋向于圆的面积。因此,需要考虑当n时,Sn的变化趋势.战国时代哲学家庄周所著的《庄子.天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,情景2数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念;21;212;21n第一天截下第二天截下第n天截下,21,,21,212n其长度组成的数列为其随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零先看数列,1,,41,31,21,1n变化趋势演示n112345678注意小球的变化为了进一步了解数列的极限,下面我们再观察几个数列随着的不断增大,它能否趋向于一个常数.n1)(nf,1,,41,31,21,1n数列的极限就是数列的变化趋势,为此,先观察几个数列随着的不断增大,它能否趋向于一个常数.先看数列变化趋势演示n112345678注意小球的变化n1)(nf213141516171正在演示,1,,41,31,21,1nn123456781从以上演示可见:小红球随着的不断增大,越来越靠近横轴,因此数列趋向于零.nn1演示结束)(nf2113141516171112345678n21再观察数列的变化趋势,1,,54,43,32,21nn注意小球的变化32435465768798)(nf112345678n21再观察数列的变化趋势,1,,54,43,32,21nn正在演示注意小球的变化32435465768798)(nf112345678n21,1,,54,43,32,21nn可见数列的变化趋势如下32435465768798从该数列的演示易见,随着的不断增大,小球越来越接近于直线,所以数列趋向于1.演示结束n1nn)(nf1)(nf再观察数列的变化趋势,1,,1,1,1,11n11注意小球的变化1234567nny再观察数列的变化趋势,1,,1,1,1,11n11注意小球的变化1234567n正在演示ny再观察数列的变化趋势,1,,1,1,1,11n111234567n易见小球在上下摆动中,其摆动的幅度始终不变,因此,该数列不趋于任何常数演示结束ny最后,观察一下数列,2,,8,6,4,2n的变化趋势.121086421234567n注意小球的变化ny最后,观察一下数列,2,,8,6,4,2n的变化趋势.121086421234567n正在演示ny最后,观察一下数列,2,,8,6,4,2n的变化趋势.121086421234567n显见小球随着的不断增大愈来愈向上移动,永无止径,因此,数列随着的增大,趋向于无穷大.nn2n演示结束ny综上可见,有的数列随着的不断增大,会逐渐趋向于某一个常数,而有些数列则不会趋向于一个常数nna定义在无限增大的变化过程中,如果无穷数列中的无限趋近于某一个常数A,那么A叫做数列的极限,或叫做数列收敛于A记作读作“趋向于无穷大时，的极限等于A”.若该数列不能够趋向于一个常数,则说该数列发散(或说不收敛).limnAnnnanananana数列极限xyo12...1(1)1nnan.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn1.....23n几个基本数列的极限1.01limnn2.0lim,1nnqq时3.cccnlim,为常数小结1、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限，如果没有极限，说明理由。例题2341111(1),,,,...2345(2)3,3,3,3,...(3)2,1,3,3,3,3,...111(4)1,,,,...49161111(5),,,,...24816(6)3,3,3,3,...2、判断下列数列是否有极限，如果有极限，给出它的极限，如果没有极限，说明理由。221(1)1(2)()33(3)(4)831(5)53(6)()2nnnnnnnnnanaananana