电网络分析2

2019/11/28电网络分析第二章顶点（节点）：线段的端点或孤立的点称为顶点或节点，顶点用符号v表示;边（支路）：连接两个顶点vi、vj的一条线段称为边或支路。边用顶点的无序偶e=[vi,vj]表示;图（线图）：边和顶点的集合称为图或线图，其中所有边连接于顶点。若用E表示图中所有边的集合，V表示图中所有顶点的集合，则这个图G可以表示为G=（V，E）；有向图：若将图中所有的边标上一定的方向，称为有向图。有向边a用其顶点vi、vj的有序偶a=(vi,vj)表示。若用A表示图中所有边的集合，V表示图中所有顶点的集合，则这个图Gd可以表示为Gd=（V，A）第二章网络图论和网络方程§2－1网络的图和图论基本术语2019/11/28电网络分析第二章相关联和相邻接：如果边联接着两个顶点，则称边与这两个顶点相关联；如果两个顶点之间至少存在一条边，则两个顶点是相邻接的顶点；如果两条边至少有一个公共顶点，则称两条边为相邻接的边。顶点的次数（维数）：与顶点相关联的边的数目。孤立顶点的次数为0，次数为2的顶点称为简单顶点。子图、互补子图：子图的每一个顶点和边都是原图的顶点和边；两个子图没有相同的边，但共同包含原图的全部边和顶点，这样的两个子图称为互补子图。第二章网络图论和网络方程§2－1网络的图和图论基本术语2019/11/28电网络分析第二章通路：由m条边和m+1个顶点通过m条边依次连通，且m+1个顶点中除始端和终端是1次外，其余各顶点均为2次的，这样的子图称为通路。通路所包含的支路数m称为通路的长度。回路和自环：通路的始端顶点和终端顶点重合，这种闭合的通路称为回路或环；一个回路所包含的支路数称为回路的长度，任何回路的长度等于回路所包含的节点数；长度为1的回路称为自回路，即自环。连通图：任意两个顶点之间至少有一条通路的图称为连通图，否则就是非连通图。完备图：任何一对顶点之间有且仅有一条边。可断图：如果一个连通图G存在着这样一个顶点，将该顶点移去后（移去该顶点及相关联的边），使G成为一个非连通图，这样的顶点称为断点，含断点的连通图称为可断图。第二章网络图论和网络方程§2－1网络的图和图论基本术语123451234562019/11/28电网络分析第二章树和树余：包含连通图的全部顶点而不包含任何回路的子图称为连通图的树，在树中，任意两个顶点之间仅有1条通路；在连通图中与树互补的子图称为树余。树中所含的边称为树支，树余中所含的边称为连支。林和余林：在由s个分离部分组成的非连通图中，各分离部分的树的集合构成一个包含s个树的林。林的补图称为余林。割集：若移去割集中所有的边，将使连通图分离为2个且仅有2个彼此分离而又各自连通的子图，若保留割集中的任一条边不被移去，该图仍然是连通的。基本割集：单树支割集。基本回路：单连支回路。第二章网络图论和网络方程§2－1网络的图和图论基本术语2019/11/28电网络分析第二章定理2-1：在具有Nt个顶点，B条边的连通图G中，任何一个树T的树支数为N=Nt-1，连支数为B-N。定理2-2：对于具有Nt个顶点，B条边的连通图G，G中关于任何一个树T的基本割集数为N，基本回路数为B-N。第二章网络图论和网络方程§2－1网络的图和图论基本术语2019/11/28电网络分析第二章网络的图是表示网络结构（或拓扑性质）的图形，图的顶点（节点）与边（支路）、回路与边、割集与边……的关联性质都可以用矩阵形式来表示。在网络分析中，利用图的矩阵表示，可方便地建立向量形式的网络方程，也有利于用计算机辅助网络分析和设计。一、关联矩阵：增广关联矩阵Aa:Aa=[aij]是一个Nt×B的矩阵110ijjiiajiiji第支路与第个节点相关联，且支路方向离开节点第支路与第个节点相关联，且支路方向指向节点第支路与第个节点无关联第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章定理2-3：一个节点数为Nt的连通图，其增广关联矩阵Aa的秩为N=Nt-1。关联矩阵A：从Aa中去掉任一行所得到的矩阵称为关联矩阵A。定理2-4：在增广关联矩阵Aa中，对应于图G的任一回路的列是线性相关的。定理2-5：连通图G的关联矩阵A的一个N阶子矩阵是非奇异的必要和充分条件是：此子矩阵的列对应于图G的一个树上的树支。tlAAA第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章二、回路矩阵：增广回路矩阵Ba：Ba=[bij]是一个L×B的矩阵,L为有向连通图G的回路数。110ijjibjiji第支路与第个回路相关联，且支路方向与回路方向相同第支路与第个回路相关联，且支路方向与回路方向相反第支路与第个回路无关联第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章定理2-6：对于一个具有Nt=N+1个节点、B条支路的连通图G，其增广回路矩阵的秩为B-N。基本回路矩阵Bf：对于一个具有Nt个节点、B条支路的有向连通图G，在选定一个树后，选取基本回路方向，使之与它所关联的连支方向一致。基本回路矩阵Bf是一个（B-N）×B矩阵，其元素bij定义如下：110ijjibjiji第支路与第个基本回路相关联，且支路方向与基本回路方向相同第支路与第个基本回路相关联，且支路方向与基本回路方向相反第支路与第个基本回路无关联ftlBB1第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章三、割集矩阵：增广割集矩阵Qa：对于一个具有Nt个节点、B条支路、C个割集的有向连通图G，选定割集的方向，则增广割集矩阵是一个C×B矩阵，它的每一行对应于一个割集，每一列对应于一条支路，其元素qij定义如下：110ijjiqjiji第支路与第个割集相关联，且支路方向与割集方向相同第支路与第个割集相关联，且支路方向与割集方向相反第支路与第个割集无关联第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章定理2-7：具有Nt个节点、B条支路的有向连通图G，其增广割集矩阵Qa的秩为N=Nt-1。基本割集矩阵Qf：Qf是一个N×B矩阵，割集的方向与它所关联的树支方向一致，它的每一行对应于一个基本割集，每一列对应于一条支路，其元素qij定义如下：110ijjiqjiji第支路与第个基本割集相关联，且支路方向与基本割集方向相同第支路与第个基本割集相关联，且支路方向与基本割集方向相反第支路与第个基本割集无关联ftlQ1Q第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章四、邻接矩阵：对于一个具有Nt个节点连通图G，节点之间的邻接关系可以用邻接矩阵D来表示。D=[dij]是一个Nt阶方阵，其行列均对应于节点，其中每一元素dij定义如下：邻接矩阵特点：一个无向图G，邻接矩阵为对称矩阵；当且仅当无自环时，其对角线元素为零的对称矩阵；每一行（或每一列）所含1的个数是相应的节点次数10ijjidji第个节点与第个节点相邻接第个节点与第个节点不相邻接第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章五、矩阵A、Bf、Qf之间的关系：矩阵A与矩阵Bf之间的关系：如果同一有向连通图的矩阵A和矩阵Bf的列按相同的支路顺序排列，则有：证明：令如果将A和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，基本回路的顺序与对应的连支顺序一致。则，，TfAB0TfBA0ftlBB1tlAAATTTtftlttllBABAAABA01第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示TfABCijpmijpm11:02:0Bijikjkkijipjpimjmijcabijcabab节点不属于回路节点属于回路2019/11/28电网络分析第二章因为At为非奇异的，则：将上式两端取转置，有，因此因此，如果已知关联矩阵A，则可由上式写出基本回路矩阵Bf。T1ttlBAAT1ttlBAAT1ftltllBB1AA1第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章矩阵Bf与矩阵Qf之间的关系：如果同一有向连通图G按照相同的支路顺序排列，则有：证明：令如果矩阵Qf和Bf的列按先树支后连支的顺序排列，则有，，那么TffQB0TffBQ0ftlBB1ftlQ1QTTTlltfftlt1BQB1BQ0Q第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示TffQBP11:02:0Bijikjkkijimjminjnijpqbijpqbqb割集与回路无公共支路割集与回路有公共支路（必为偶数）mnij1V2Vmnij1V2V2019/11/28电网络分析第二章因此：因此有：TtlBQTltQBTlflBQ1T-fttQ1B第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章矩阵A与矩阵Qf之间的关系：因为：所以：当已知关联矩阵A时，可根据上式写出基本割集矩阵Qf。T1ttlBAAT1tltlQBAA111tttftltlQ1AAAAAAA第二章网络图论和网络方程§2－2图的矩阵表示2019/11/28电网络分析第二章一、基尔霍夫电流定律的矩阵形式用关联矩阵A表示的KCL方程：用基本回路矩阵Bf表示的KCL方程：如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则关联矩阵和支路电流向量可分块为：bAi=0tlA=AAtlbii=i第二章网络图论和网络方程§2－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式以下研究的电网络限于线性时不变集总电网络。网络变量是电压、电流；依据：KCL、KVL、VCR2019/11/28电网络分析第二章由于At是一个非奇异矩阵，所以有：由此看出，B条支路电流中，只有B-N个连支电流是独立的，树支电流可由连支电流决定，因此，连支电流是全部支路电流集合的一个基底(basis)。考虑到矩阵Bf与A的关系，得到该式就是用基本回路矩阵Bf表示的KCL方程的矩阵形式。tbtlttllliAi=AA=Ai+Ai=0i-1ttlli=-AAi-1tTtlblfllli-AAi==i=Bii1第二章网络图论和网络方程§2－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式2019/11/28电网络分析第二章用基本割集矩阵Qf表示的KCL方程：由于矩阵Qf的每一行的非零元素表示与该行对应的基本割集所关联的支路及关联形式，因此：每一个基本割集所含支路的电流的代数和为零。二、基尔霍夫电压定律的矩阵形式用基本回路矩阵Bf表示的KVL方程：用基本割集矩阵Qf表示的KCL方程：如果在图中选定一个树，支路的编号按先树支后连支的顺序，则基本回路矩阵Bf和支路电压向量ub可分块为：fbQi0fbBu0第二章网络图论和网络方程§2－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式2019/11/28电网络分析第二章于是：由此看出，B条支路电压中，只有N个树支电压是独立的，连支电压可由树支电压决定，因此，树支电压是全部支路电压集合的一个基底(basis)。因此可以得到：该式就是用基本割集矩阵Qf表示的KVL方程的矩阵形式。ftlBB1TbtluuutfbtlttlluBuB1Buu0uTlttltuBuQutttTbtftTTlltlu1uuuQuuQuQ第二章网络图论和网络方程§2－3基尔霍夫定律的矩阵形式和支路电压电流关系的矩阵形式2019/11/2