z变换的基本知识

1z变换基本知识1z变换定义连续系统一般使用微分方程、拉普拉斯变换的传递函数和频率特性等概念进行研究。一个连续信号()ft的拉普拉斯变换()Fs是复变量s的有理分式函数；而微分方程通过拉普拉斯变换后也可以转换为s的代数方程，从而可以大大简化微分方程的求解；从传递函数可以很容易地得到系统的频率特征。因此，拉普拉斯变换作为基本工具将连续系统研究中的各种方法联系在一起。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉普拉斯变换，从中找到了简化运算的方法，引入了z变换。连续信号()ft通过采样周期为T的理想采样开关采样后，采样信号*()ft的表达式为0*()()()(0)()()()(2)(2)kftfkTtkTftfTtTfTtT(3)(3)fTtT（1）对式（1）作拉普拉斯变换23*()[*()](0)()(2)(3)sTsTsTFsLftffTefTefTe0()eksTkfkT（2）从式（2）可以看出，*()Fs是s的超越函数，含有较为复杂的非线性关系，因此仅用拉普拉斯变换这一数学工具，无法使问题简化。为此，引入了另一个复变量“z”，令esTz（3）代入式（2）并令1ln*()()szTFxFz，得2120()(0)()(2)()kkFzFfTzfTzfkTz（4）式（4）定义为采样信号*()ft的z变换，它是变量z的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。通常以()[*()]FzLft表示。由以上推导可知，z变换实际上是拉普拉斯变换的特殊形式，它是对采样信号作esTz的变量置换。*()ft的z变换的符号写法有多种，如[*()],[()],[()],[*()],()ZftZftZfkZFsFz等，不管括号内写的是连续信号、离散信号还是拉普拉斯变换式，其概念都应该理解为对采样脉冲序列进行z变换。式（1），式（2）和式（3）分别是采样信号在时域、s域和z域的表达式，形式上都是多项式之和，加权系数都是()fkT，并且时域中的()tkTs、域中的eksT及z域中的kz均表示信号延迟了k拍，体现了信号的定时关系。在实际应用中，采样信号的z变换在收敛域内都对应有闭合形式，其表达式是z的有理分式11101110()()mmmnnnKzdzdzdFzzCzCzC＋＋mn（5）或1z的有理分式1111011110(1)()1lmmmnnnKzdzdzdzFzCzCzCz＋＋lnm（6）其分母多项式为特征多项式。在讨论系统动态特征时，z变换写成零、极点形式更为有用，式（5）可改写为式（7）11()()()()()()()mnKzzzzKNzFzDzzpzpmn（7）2求z变换的方法1）级数求和法3根据z变换定义式（4）计算级数和，写出闭合形式。例1求指数函数()etft的z变换。解连续函数()ft的采样信号表达式为*20()e()()e()e(2)kTTTkfttkTttTtT对应的z变换式为1220()()1kTTkFzfkTzezez上式为等比级数，当公比1e1Tz时，级数收敛，可写出和式为11()1eeTTzFzzz。例2求单位脉冲函数()t的z变换。解因为采样信号的表达式为*()(0)()()()(2)(2)ftftfTtTfTtT对()()ftt函数，它意味着*()ft仅由一项组成，即*()(0)()ftft，且(0)1f。所以00()[()]()(0)1kkFzZtfkTzfz2）部分分式展开法最实用的求z变换的方法是利用时域函数()ft或其对应的拉普拉斯变换式()Fs查z变换表（见教材附录），对于表内查不到的较复杂的原函数，可将对应的拉普拉斯变换式()Fs进行部分分式分解后再查表。()Fs的一般式为1011111()()()mmmmnnnnbsbsbsbBsFsAssasasa（8）（1）当()0As无重根，则()Fs可写为n个分式之和，即41212()ininCCCCFsssssssss（9）系数iC可按下式求得，即()()iiissCssFs（10）（2）当()0As有重根，设1s为r阶重根，12,,,rrnsss为单根，则()Fs可展成如下部分分式之和，即11111111()()()nrrrrrrnCCCCCFsssssssssss（11）式（11）中1,,rnCC为单根部分分式的待定系数，可按式（10）计算。而重根项待定系数12,,,rCCC的计算公式如下111111111111()()d()()d1d()()!d1d()()(1)!drrssrrssjrrjjssrrrssCssFsCssFssCssFsjsCssFsrs（12）例3已知22()(1)(3)sFssss，求其相应采样函数的z变换()Fz。解用()Fs直接查z变换表查不到，所以必须先进行部分分式分解。该式可分解为32142()(1)13CCCCFsssss其中222121(1)(1)(3)2ssCssss2121d23(1)d(1)(3)4ssCsssss532022(1)(3)3ssCssss42321(3)(1)(3)12ssCssss将诸常数代入部分分式中，有211312111()2(1)4(1)3123Fsssss对照z变换表，查得231e321()2(e)4e3112eTTTTTzzzzFzzzzz2232e33e214(e)3112eTTTTTzzzzzzzz（13）3z变换的基本定理z变换的基本定理和拉普拉斯变换很相似，见表1。这些定理一般均可用z变换定义来证明，以下选择一些常用的定理进行证明。表1拉普拉斯变换和z变换特性拉普拉斯变换Z变换线性1212[()()]()()LftftFsFs11212[()()]()()LFsFsftft[()]()LaftaFs1[()]()LaFsaft1212[()()]()()ZftftFzFz1**1212[()()]()()ZFzFzftft[()]()ZaftaFz1*[()]()ZaFzaft实微分（实超前位移）d()dkkLftt(1)1()(0)kkkjjjsFssf()ZftlT10()()llljjzFzzfj实积分0()()dtFsLfs—复微分d[()]()dLtftFssd()[()]dFzZtftTzz6复积分()()dsftLFppt()ftZt0()()dlimzkFfkTTkT实延迟位移000()1()e()sTLftTtTFs()1()()lZftlTtlTzFz复位移()()atLeftFsae()()atZftZFsaeatFz初值0lim()lim()isftsFs0lim()lim()kzfkTFz终值0lim()lim()tsftsFs11lim()lim(1)()kzfkTzFz比例尺变换1[()]sLfatFaa1/[()]()aZfanTFz实卷积1212[()*()]()()LftftFsFs1212[()()]()()ZfnfnFzFz求和—101()()1niZfiFzz1）实域位移定理（1）右位移（延迟）定理若[()]()ZftFz，则[()]()nZftnTzFz（14）式中n是正整数。证明根据定义()00[()]()()knknkkZftnTfkTnTzzfkTnTz令knm，则[()]()nmmnZftnTzfmTz根据物理可实现性，0t时()ft为零，所以上式成为70[()]()()nmnmZftnTzfmTzzFz位移定理的时域描述如图1所示。图1位移定理的时域图形描述从图中可以看出，采样信号经过一个nz的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动n步；经过一个nz的纯滞后环节，相当于时间特性向后移动n步。（2）左位移（超前）定理若[()]()ZftFz，则10[()]()()nnkkZftnTzFzfkTz（15）证明根据定义有0[()]()kkZftnTfkTnTz令knr，则()[()]()()rnnkrnrnZftnTfrTzzfrTz11000()()()()nnnrrnkrrkzfrTzfrTzzFzfkTz当(0)()(2)[(1)]0ffTfTfnT时，即在零初始条件下，则超前定理成为[()]()nZftnTzFz（16）82）复域位移定理若函数()ft有z变换()Fz，则[e()](e)ataTZftFz（17）式中a是常数。证明根据z变换定义有0[e()]()eatakTkkZftfkTz令1eaTzz，则上式可写成110[e()]()()atkkZftfkTzFz代入1eaTzz，得e()(e)ataTZftFz3）初值定理如果函数()ft的z变换为()Fz，并存在极限lim()zFz，则0lim()lim()kzfkTFz（18）或者写成(0)lim()zfFz（19）证明根据z变换定义，()Fz可写成120()()(0)()(2)kkFzfkTzffTzfTz当z趋于无穷时，上式的两端取极限，得0lim()(0)lim()zkFzffkT4）终值定理假定()ft的z变换为()Fz，并假定函数1(1)()zFz在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则11lim()lim(1)()kzfkTzFz（20）9证明考虑2个有限序列10()(0)()()nknkfkTzffTzfnTz（21）和120[(1)]()(0)()[(1)]nknkfkTzfTfzfTzfnTz（22）假定对于0t时所有的()0ft，因此在式（3-34）中()0fT，比较式（22）和式（21），式（22）可写成1100[(1)]()nnkkkkfkTzzfkTz（23）令z趋于1时，式（21）与式（23）差取极限，得11100lim()()nnkkzkkfkTzzfkTz100()()()nnkkfkTfkTfnT（24）在式（24）中取n时的极限，得11100lim()limlim()()nnkknnzkkfnTfkTzzfkTz（25）在该式右端改变取极限的次序，且因上式方括号中当n时，两者的级数和均为()fz，由此得11lim()lim(1)()nzzfnTzFz终值定理的另一种常用形式是1lim()lim(1)()nzfnTzFz（26）必须注意，终值定理成立的条件是，1(1)()zFz在单位圆上和圆外没有极点，即脉冲函数序列应当是收敛的，否则求出的终值是错误的。如