上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．图8①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠BPC＝∠A，∴∠ABP＝∠DPC．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠A＝∠D．∴△ABP∽△DPC．②解：设AP＝x，则DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得DCPDAPAB，即252xx，解得x1＝1，x2＝4，则AP的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴DQAPPDAB．即yxx252，得225212xxy，1＜x＜4．②AP＝2或AP＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图567探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．图1图2图3（1）解：PQ＝PB……………………（1分）证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．∴NP＝NC＝MB．……………………（1分）∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．……………………（1分）又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB．……………………（1分）∴PQ＝PB．（2）解法一由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．∵AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x22，BM＝PN＝CN＝1－x22，∴CQ＝CD－DQ＝1－2·x22＝1－x2．得S△PBC＝21BC·BM＝21×1×（1－x22）＝21－42x．………………（1分）S△PCQ＝21CQ·PN＝21×（1－x2）（1－x22）＝21－x423＋21x2（1分）S四边形PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝21x2－x2＋1．即y＝21x2－x2＋1（0≤x＜22）．……………………（1分，1分）解法二作PT⊥BC，T为垂足（如图2），那么四边形PTCN为正方形．∴PT＝CB＝PN．又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN．S四边形PBCQ＝S△四边形PBT＋S四边形PTCQ＝S四边形PTCQ＋S△PQN＝S正方形PTCN（2分）＝CN2＝（1－x22）2＝21x2－x2＋1∴y＝21x2－x2＋1（0≤x＜22）．……………………（1分）（3）△PCQ可能成为等腰三角形①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ＝QC，△PCQ是等腰三角形，此时x＝0……………………（1分）②当点Q在边DC的延长线上，且CP＝CQ时，△PCQ是等腰三角形（如图3）……………………（1分）解法一此时，QN＝PM＝x22，CP＝2－x，CN＝22CP＝1－x22．∴CQ＝QN－CN＝x22－（1－x22）＝x2－1．当2－x＝x2－1时，得x＝1．……………………（1分）解法二此时∠CPQ＝21∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB＝1，∴x＝1．……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点：（1）当∠DEF＝45º时，求证：点G为线段EF的中点；（2）设AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图，当EF＝65时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。2004年上海市中考数学试卷27、（2004•上海）数学课上，老师提出：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．同学发现两个结论：①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=﹣yH（1）请你验证结论①和结论②成立；（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；（2）（3）的解法同（1）完全一样．解答：解：（1）由已知可得点B的坐标为（2，0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4），由点C坐标为（1，1）易得直线OC的函数解析式为y=x，故点M的坐标为（2，2），所以S△CMD=1，S梯形ABMC=32所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，即结论①成立．设直线CD的函数解析式为y=kx+b，则{𝑘+𝑏=12𝑘+𝑏=4，解得{𝑘=3𝑏=﹣2所以直线CD的函数解析式为y=3x﹣2．由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2），yH=﹣2因为xC•xD=2，所以xC•xD=﹣yH，即结论②成立；（2）（1）的结论仍然成立．理由：当A的坐标（t，0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2），由点C坐标为（t，t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx，故点M的坐标为（2t，2t2），所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=32t3．所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3，即结论①成立．设直线CD的函数解析式为y=kx+b，则{𝑡𝑘+𝑏=𝑡22𝑡𝑘+𝑏=4𝑡2，解得{𝑘=3𝑡𝑏=﹣2𝑡2所以直线CD的函数解析式为y=3tx﹣2t2；由上述可得，点H的坐标为（0，﹣2t2），yH=﹣2t2因为xC•xD=2t2，所以xC•xD=﹣yH，即结论②成立；（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2），设直线CD的解析式为y=kx+b，则：{𝑡𝑘+𝑏=𝑎𝑡22𝑡𝑘+𝑏=4𝑎𝑡2，解得{𝑘=3𝑎𝑡𝑏=﹣2𝑎𝑡2所以直线CD的函数解析式为y=3atx﹣2at2，则点H的坐标为（0，﹣2at2），yH=﹣2at2．因为xC•xD=2t2，所以xC•xD=﹣1𝑎yH．点评：本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点．2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷1、（本题满分12分，每小题满分各为4分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。（1）如图8，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长.25.1909090APDODAPEDODOEODEOEDODEOEDEDAPEAAAADEAEP（）证明：连结OD切半圆于，又，，又22334,555846416584525555(0)ODCBOAACODODxOEADxxADEAEPxAPAEyxyxyxAEADxxx（）同理可得：(3)5(46,90512661255ECxAPABDOBEHDHEDJEHDxPBEPDHPFBPHDPBPBAPxx由题意可知存在三种情况但当在点左侧时ＢＦ显然大于４所以不合舍去当时如图）延长，交于易证J54,1261255422xPBDOPEHDHEEJDPBFPDHBPBPxxAP当时点在点的右侧延长交于点同理可得2006年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷25（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分3分）已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上。以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点。（1）如图9，如果AP=2PB，PB=BO。求证：△CAO∽△BCO；（2）如果AP=m（m是常数，且m〉1），BP=1，OP是OA、OB的比例中项。当点C在圆O上运动时，求AC：BC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围。25．（1）证明：2APPBPBBOPO，2AOPO．2AOPOPOBO．································································································（2分）POCO，········································································································（1分）AOCOCOBO．COABOC∠∠，CAOBCO△∽△．······················（1分）（2）解：设OPx，则1OBx，OAxm，OP是OA，OB的比例中项，21xxxm，·········································