2013-2017年高考数学(理)分类汇编：第10章-圆锥曲线-3-抛物线及其性质(含答案解析)

第3节抛物线及其性质题型120抛物线的定义与标准方程1.（2013浙江理15）设F为抛物线xyC4:2的焦点，过点)0,1(P的直线l交抛物线C于两点BA,，点Q为线段AB的中点，若2||FQ，则直线的斜率等于________.2.(2013全国新课标卷理11）设抛物线2:30Cypxp≥的焦点为F，点M在C上，5MF，若以MF为直径的圆过点02，，则C的方程为（）.A.24yx或28yxB.22yx或28yxC.24yx或216yxD.22yx或216yx3.（2013山东理11）抛物线211:02Cyxpp的焦点与双曲线22:13xCy的右焦点的连线交1C于第一象限的点M，若1C在点M处的切线平行于2C的一条渐近线，则p（）.A.316B.38C.233D.4334.(2013天津理5）已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线与抛物线22(0)pxpy的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB△的面积为3，则p（）.A．1B．32C．2D．35.（2014湖南理15）如图所示，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为,abab，原点O为AD的中点，抛物线22ypx0p经过C，F两点，则ba________.6.（2015陕西理14）若抛物线22(0)ypxp的准线经过双曲线221xy的一个焦点，则p________．6．解析221xy的焦点坐标为2,0，抛物线22(0)ypxp准线方程为2px，所以2222pp.命题意图考查双曲线、抛物线的基本概念.7.（2016全国乙理10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知||42AB，25DE，则C的焦点到准线的距离为（）.A.2B.4C.6D.87.B分析以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理.解析设抛物线为220ypxp，圆的方程为222xyr，如图所示.y2=2px5FEDBAyxO设0,22Ax，,52pD，点0,22Ax在抛物线22ypx上，所以082px，得04xp，2216422ABrp①222524pDEr②联立①②，解得216p，即4p.则C的焦点到准线的距离为4.故选B.8.（2016浙江理9）若抛物线24yx上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．8.9解析由题意知，该抛物线的焦点1,0，准线为1x.因为抛物线上的点00,Mxy到焦点的距离等于到准线的距离，所以00110,9xx得，所以点M到y轴的距离为9.9.（2017北京理18（1））已知抛物线22Cypx：过点11P，.过点102，作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；9.解析（1）由抛物线2:2Cypx过点1,1P，得12p.所以抛物线C的方程为2yx，抛物线C的焦点坐标为1,04，准线方程为14x.10.（2017全国2卷理科16）已知F是抛物线2:8Cyx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则FN．10．解析由28yx，得4p，焦点为20F，，准线:2lx.如图所示，由M为FN的中点，故易知线段BM为梯形AFNC的中位线.因为2CN，4AF，所以3MB.又由抛物线的定义知MBMF，且MNMF，所以6NFNMMF.lFNMCBAOyx题型121与抛物线有关的距离和最值问题——暂无1.（2014新课标1理10）已知抛物线C：28yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4FPFQ，则QF（）.A.72B.3C.52D.22.（2017全国1卷理科10）已知F为抛物线24Cyx：的焦点，过点F作两条互相垂直的直线1l，2l，直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，则ABDE的最小值为（）.A．16B．14C．12D．102.解析解法一：设直线1l的斜率为k，则直线2l的斜率为1k，设11,Axy，22,Bxy，33,Dxy，44,Exy，直线11lkx，直线21:1lyxk.联立241yxykx，消去y整理得2222240kxkxk，所以2122224424kABxxpkk，同理22342124441kDExxpkk，从而22184+16ABDEkk…，当且仅当1k时等号成立.故选A.解法二：设AB的倾斜角为，抛物线的准焦距为p．作1AK垂直准线于点1K，2AK垂直x轴于点2K，如图所示.易知11cos22AFGFAKAKAFppGPp（几何关系）（抛物线定义），所以cosAFpAF，即1cospAF，同理1cospBF，所以22221cossinppAB.又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2，2222πcossin2ppDE.而24yx，即2p，所以22112sincosABDEp2222sincos4sincos224sincos241sin2421616sin2≥，当π4时取等号，即ABDE的最小值为16.故选A.题型122抛物线中三角形、四边形的面积问题——暂无1.（2014新课标2理10）设F为抛物线2:3Cyx的焦点，过F且倾斜角为°30的直线交于C于,AB两点，O为坐标原点，则OAB△的面积为（）.A.334B.938C.6332D.942.（2014四川理10）已知F是抛物线2yx的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OAOB（其中O为坐标原点），则ABO△与AFO△面积之和的最小值是（）.A．2B．3C．1728D．103.（2015浙江理5）如图，设抛物线24yx的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,ABC，其中点,AB在抛物线上，点C在y轴上，则BCF△与ACF△的面积之比是（）．A.11BFAFB.2211BFAFC.11BFAFD.2211BFAFFCBAOxy3.解析依题意，11BCFBACFABCBFSxSACxAF△△．故选A．4.（2016天津理14）设抛物线222xptypt（t为参数，0p）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设7,02pC，AF与BC相交于点E.若2CFAF，且ACE△的面积为32，则p的值为_________.4.6解析抛物线的普通方程为22ypx，,02pF，7322pCFpp.又2CFAF，则32AFp.由抛物线的定义得32ABp，所以Axp，则||2Ayp.由//CFAB，得2EFCFEAAF，所以262CEFCEASS△△，92ACFAECCFESSS△△△，即132922pp，6p．5.（2016上海理20）有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分为两个区域1S和2S，其中1S中的蔬菜运到河边较近，2S中的蔬菜运到F点较近，而菜地内1S和2S的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为1,0，如图所示．（1）求菜地内的分界线C的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S面积是2S面积的两倍，由此得到1S面积的“经验值”为83．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于1S面积的经验值．5.解析（1）不妨设设分界线上任一点为,xy，依题意2211xxy化简得2yx01x剟．（2）因为1My，所以2144MMyx，EFGHOMxyS1S2M1S2S1yxMOHGFE设以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积为3S，则3122154S，设五边形EOMGH面积为4S，过M作1MMHE交HE于点1M，则114EOMMMMGHSSS梯形梯形151511=1+1++2124244，因为13851326SS，411181143126SS，所以五边形EOMGH的面积更接近1S的面积．题型（附）抛物线（线性规划）1.（2013江苏9）抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是.欢迎访问“高中试卷网”——