湖南省长沙市四县联考2017年高考数学模拟试卷(解析版)(理)(3月份)

2017年湖南省长沙市四县联考高考模拟数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（CUB）为（）A．{x|1≤x＜3}B．{x|x＜3}C．{x|x≤﹣1}D．{x|﹣1＜x＜1}2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0B．1C．2D．33．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①mnmn∥；②mmnn∥；③mm∥；④mnmn∥∥．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④4．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣4B．12C．4D．1﹣125．已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（）A．1B．32C．2D．526．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．283πC．443πD．20π7．函数f(x)=sinln(2)xx的图象可能是（）ABCD8．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．10﹣1C．11﹣1D．23﹣19．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135512564115.164105.26295.36285.4675.5566.56455.66345.76235.86125.9616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（）A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸10．设F1、F2是双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使22()0OPOFPF（O为坐标原点），且122||3||PFPF，则双曲线的离心率为（）A．13B．213C．132D．3211．已知集合M={(x，y)|y=f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={(x，y)|21yx}；②M={(x，y)|y=sinx+1}；③={(x，y)|y=2x﹣2}；④M={(x，y)|y=log2x}其中是“垂直对点集”的序号是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③12．定义在(1，+∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x∈(1，+∞)恒有f(2x)=2f(x)成立；(2)当x∈(1，2]时，f(x)=2﹣x；记函数g(x)=f(x)﹣k(x﹣1)，若函数g(x)恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．4[,2]3C．4[,2)3D．4(,2)3第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．若两个非零向量a、b满足||||2||ababa，则向量ab与ab的夹角是．14．已知5()axx的展开式中含32x的项的系数为30，则实数a=．15．我们可以利用数列{an}的递推公式an=,,2nnnan为奇数时为偶数时（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．16．实数x、y满足3060xxyxy≤≥≥，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2coscoscbBaA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=25，求△ABC面积的最大值．18．（本题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．19．（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；②求X的数学期望和方差．附临界值表：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828K2的观测值22()()()()()nadbcKabcdacbd（其中n=a+b+c+d）关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品好评a=80b=对商品不满意c=d=10合计n=20020．（本题满分12分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为13，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．21．（本题满分12分）已知函数f(x)=lnxx的图象为曲线C，函数(x)=12ax+b的图象为直线l．（Ⅰ）当a=2，b=﹣3时，求F(x)=f(x)﹣g(x)的最大值；（Ⅱ）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：(x1+x2)g(x1+x2)＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是cossinxtyt（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数f(x)=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．（Ⅰ）当a=3时，解不等式f(x)≥1；（Ⅱ）若f(x)﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2017年湖南省长沙市四县联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：ACAAC．BACCA7．【解】：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A9．【解】：设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选：C．10．【解】：∵=∴，得﹣=0，所以==c∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥∵∴设，（λ＞0）得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ=c∴c，c，由双曲线的定义，得2a=||=c∴双曲线的离心率为e==，故选A11．【解】：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=ex﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．12．【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为，故选C．二、填空题13．120°．14．﹣6．15．66．16．[﹣1，1]．【解】：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．【解】：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]三、解答题17．【解】：（Ⅰ）∵，所以（2c﹣b）•cosA=a•cosB由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）•cosA=sinA•cosB．整理得2sinC•cosA