2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷(一)数学(文)试题(解析版)

第1页共21页2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期高考模拟卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合(4)0,3,0,1,3AxxxB，则AB=（）A．3,1B．1,3C．3,1,0D．3,1,0【答案】B【解析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【详解】由已知得{|(4)0}{|04}Axxxxx，所以{1,3}AB，故选B.【点睛】本题考查二次不等式的求法，交集的定义及运算，属于基础题．2．已知函数，则下列判断正确的是（）A．函数是奇函数，且在R上是增函数B．函数是偶函数，且在R上是增函数C．函数是奇函数，且在R上是减函数D．函数是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.【详解】的定义域为R，且；∴是奇函数；又和都是R上的增函数；第2页共21页是R上的增函数．故选：A．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．3．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m，记第二次出现的点数为n，则m＝2n的概率为（）A．181B．112C．19D．16【答案】B【解析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出m＝2n（k∈N）包含的基本事件有3个，由古典概型概率公式计算即可．【详解】由题意得，基本事件总数有：3666种，事件“2mn”包含的基本事件有：)1,2(，)2,4(，(6,3)共3个，所以事件“2mn”的概率为313612P.故选B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，是基础题．4．已知复数，在复平而上对应的点分别为A（1，2），B（－1，3），则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】点的坐标得到复数z1，z2，代入后由复数代数形式的除法运算化简求值即可得到的虚部．【详解】解：由复数在复平面上对应的点分别是A（1，2），B（﹣1，3），得：＝1+2i，＝﹣1+3i第3页共21页则．的虚部为故选：D．【点睛】本题考查了复数代数形式的表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．5．若双曲线2221(0)xyaa的实轴长为2，则其渐近线方程为（）A．yxB．xy2C．xy21D．2yx【答案】A【解析】利用双曲线的实轴长求出a，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a，又1b，所以双曲线的渐近线方程为yx.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）A．242B．442C．2D．22【答案】C【解析】根据三视图的几何特点，利用三视图的数据，求出侧视图的面积即可．【详解】由三视图的数据，结合“长对正，宽相等”可得俯视图斜边上的高2即为侧视图的底边长，第4页共21页正视图的高即为侧视图的高，所以侧视图的面积为：12222．故选：C．【点睛】本题考查三视图在形状、大小方面的关系，考查空间想象能力，属于基础题．7．等比数列na各项为正，354,,aaa成等差数列，nS为na的前n项和，则42SS（）A．2B．78C．98D．54【答案】D【解析】设{}na的公比为q（q≠0，q≠1），利用a3，a5，﹣a4成等差数列结合通项公式，可得2a1q4＝a1q2﹣a1q3，由此即可求得数列{}na的公比，进而求出数列的前n项和公式，可得答案．【详解】设{}na的公比为(0,1)qqq，∵3a，5a，成等差数列，∴4231112aqaqaq，10a，0q，∴2210qq，得12q或1q（舍去），∴4242211()1521()1241()2SS.故选D.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A．A1O∥DCB．A1O⊥BCC．A1O∥平面BCDD．A1O⊥平面ABD【答案】C第5页共21页【解析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．再利用空间线线、线面的位置关系排除其它选项即可.【详解】∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；假设A1O⊥BC，结合A1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；又A1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9．已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数的图象向左平移后得到偶函数的图象，则函数的一个单调递减区间为（）A．B．C．D．【答案】B第6页共21页【解析】由对称中心之间的距离为可得三角函数的周期，从而可求得的值，利用经过平移变换后得到的函数是偶函数求得的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果．【详解】因为函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，可得，将函数的图象向左平移后，得到是偶函数，所以，解得，由于，所以当时．则，令，解得，当时，单调递减区间为，由于，第7页共21页所以是函数的一个单调递减区间，故选B．【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，由求得增区间.10．已知抛物线C：22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，点M在第一象限的抛物线C上，直线MF的斜率为3，点M在直线l上的射影为A，且△MAF的面积为43，则p的值为（）A．1B．2C．23D．4【答案】B【解析】如图所示，由直线MF的斜率为3，可得∠AMF＝60°．再利用抛物线的定义得出面积的表达式，解出p即可．【详解】如图所示，∵直线MF的斜率为3，∴∠MFx＝60°．∴∠AMF＝60°，由抛物线的定义可得：|MA|＝|MF|，∴1sin6043,2MAFSMFMA得4MAMF，所以MAF为等边三角形，∴24MAp，2p，第8页共21页故选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推那么该数列的前50项和为A．1044B．1024C．1045D．1025【答案】A【解析】将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：，第二组：，，第三组：，，，第k组：，，，，，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：，，，，，每项含有的项数为：1，2，3，，k，总共的项数为，当时，，故该数列的前50项和为第9页共21页．故选：A．【点睛】本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．12．若不等式1lnxmmex对],[11ex成立，则实数m的取值范围是（）A．1[,)2B．1(,]2C．1[,1]2D．[1,)【答案】A【解析】设1lntxx，由题意将原问题转化为求max||tm，利用导数分析1lntxx的单调性求得最大值，代入解不等式即可.【详解】设1lntxx，由1,1ex，则22111txxxx在1,1ex上t0恒成立，∴1lntxx单调递减，则[1,1]te；当2em时，max||1tmemme，解得：12m；当2em时，max||1tmmme，恒成立；综上知：当m1[,)2时，不等式1lnxmmex对1,1ex成立.故选A.【点睛】本题考查了利用导数求解函数最值的问题，考查了绝对值不等式的解法，考查了恒成立问题的转化，属于中档题.二、填空题13．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，若AHABBC，则_________.第10页共21页【答案】43.【解析】由题意可得13BHBC，从而由13AHABBHABBC，解得λ+μ．【详解】∵AB＝2，∠ABC＝60°，∴BH＝1，∴13BHBC，∴13AHABBHABBCλABμBC，，故λ1，μ13，故λ+μ43；故答案为：43．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．14．已知x，y满足约束条件202010xyxyy，则目标函数yxz2的最大值为__________________。【答案】3.【解析】画出满足条件的平面区域，由z＝2x﹣y得：y＝2x﹣z，平移直线y＝2x﹣z，当过A（1，﹣1）时，z最大，代入求出z的最大值即可．【详解】画出不等式组表示的可行域（三角形），由yxz2得到2yxz，平移直线2yxz，由图形得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值.由201xyy，解得11xy，所以点A的坐标为(1,1)，得max21(1)3z.第11页共21页故答案为：3.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．15．若函数()fx称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，使得对定义域的任意x值，均有()(2)2fxfaxb，已知1)(xxxf为准奇函数”，则a＋b＝_________。【答案】2.【解析】根据函数关于点对称的关系式，找到函数f（x）的对称点，即可得到结论．【详解】由()(2)2fxfaxb知“准奇函数”()fx关于点),(ba对称；因为1)(xxxf=111x关于(1,1)对称，所以1a，1b，2ab.故答案为：2.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性的表示方式，属于基础题．16．已知等腰△ABC的面积为4，AD是底边BC上的高，沿AD将△ABC折成一个直二面角，则三棱锥A一BCD的外接球的表面积的最小值为______。【答案】82.【解析】由题意可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥补形为长方体求解．【详解】设ADa，2BCb，则由面积可得ab=4；由已知，BD平面ADC，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥ABCD的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a、b、b，则球的直径2222222abbbRa，则球的表面积为22242SRab，因2222282abab，故min82S.第12页共21页故答案为：82.【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，考查了基本不等式求最值的方法，是中档题．三、解答题17．如图，在梯形中，，为上一点，，.（1）若，求；（2）设，若，求.【答案】（1）（2）【解析】(1)先由题中条件求出，再由余弦定理即可求解；(2)先由，表示出，进而可用表示出，，再由，即可求解.【详解】解：（1）由，，得.