【名校模拟】2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(理科)

第1页（共30页）2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．若z（1+i）=i（其中i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．C．1D．3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=x3B．y=C．y=2|x|D．y=cosx4．执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1B．C．D．25．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）第2页（共30页）A．B．C．D．6．将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．7．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定8．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且3a1，，2a2成等差数列，则等于（）A．6B．7C．8D．99．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC=（）A．B．C．D．第3页（共30页）10．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（）A．|OB|=e|OA|B．|OA|=e|OB|C．|OB|=|OA|D．|OA|与|OB|关系不确定11．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），“＞＞”当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下四个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则＞＞＞＞；②若＞＞，＞＞，则＞＞；③若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；④对于任意向量＞＞，=（0，0），若＞＞，则•＞•．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）第4页（共30页）13．若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．14．已知直线l过拋物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点且|AB|=12，P为C的准线上的一点，则△ABP的面积为．15．已知14C的半衰期为5730年（是指经过5730年后，14C的残余量占原始量的一半）．设14C的原始量为a，经过x年后的残余量为b，残余量b与原始量a的关系如下：b=ae﹣kx，其中x表示经过的时间，k为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C的残余量约占原始量约占原始量的76.7%．请你推断一下马王堆汉墓的大致年代为距今年．（已知log20.767≈﹣0.4）16．已知f（x）=|x﹣2018|+|x﹣2017|+…+|x﹣1|+|x+1|+…+|x+2017|+|x+2018|（x∈R），且满足f（a2﹣3a+2）=f（a﹣1）的整数a共有n个，（x≥0）的最大值为m，且m+n=3，则实数k的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知数列{an}，{bn}满足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an﹣1，bn≠0（1）求证数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）令cn=求数列{cn}的前n项和Tn．18．（12.00分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE=6，AF=2．（1）试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF；（2）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．第5页（共30页）19．（12.00分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图所示的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3家，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为二阶的可能性最大，求n的值．20．（12.00分）已知F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过F2作不与x轴重合的直线l，l与圆x2+y2=a2+b2相交于A、B并与椭圆相交于C、D，当=λ，且λ∈时，求△F1CD的面积S的取值范围．21．（12.00分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；第6页（共30页）（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．第7页（共30页）2018年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x||x|＜2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x＜2}【分析】利用绝对值不等式及一元二次不等式解出集合A，从而求出A∩B．【解答】解∵A={x||x|＜2}，∴A={x|﹣2＜x＜2}，而B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜2}；故选：D．【点评】本题考查了解不等式不等式问题，考查集合的运算，集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．若z（1+i）=i（其中i为虚数单位），则|z|等于（）A．B．C．1D．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算公式求模．【解答】解：∵z（1+i）=i，∴z===﹣，∴|z|==，故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）第8页（共30页）A．y=x3B．y=C．y=2|x|D．y=cosx【分析】对于A，函数是奇函数；对于B，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上函数单调递减；对于C，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上函数单调递增；对于D，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数．【解答】解：对于A，函数是奇函数，不满足题意；对于B，∵，∴函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，y=﹣lnx，y′=﹣＜0，∴函数单调递减，故满足题意；对于C，∵2|﹣x|=2x，∴函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，y=2x，y′=2xln2＞0，∴函数单调递增，故不满足题意；对于D，函数是偶函数，在区间（0，+∞）上，不是单调函数，故不满足题意故选：B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1B．C．D．2第9页（共30页）【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，M，S的值，当S=1时，满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为1．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=2n=3，M=，S=不满足条件S∈Q，n=4，M=，S=+不满足条件S∈Q，n=5，M=，S=++=1满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为1．故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案．【解答】解：由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：第10页（共30页）所以该几何体的体积为23﹣×22×1=．故选：A．【点评】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”．6．将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式为y=sin（2x+﹣2φ），再根据正弦函数的图象的对称性，可得﹣2φ=kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．【解答】解：将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ），再根据所得函数的图象关于原点对称，可得﹣2φ=kπ，k∈z，即φ=﹣，则φ的最小正值为，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7．某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是（）第11页（共30页）A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【分析】对各个选项分别加以判断：根据极差的定义结合图中的数据，可得出A正确；根据中位数的定义结合图中的数据，可得出B正确；通过计算平均数的公式结合图中的数据，可得出C正确；通过计算方差的公式，结合图中的数据，可得出D不正确．由此可以得出答案．【解答】解：首先将茎叶图的数据还原：甲运动员得分：19181826212035333230474140乙运动员得分：17171919222526272929303233对于A，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47﹣16=21，乙运动员得分的极差为33﹣17=16，得甲运动员得