高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

第1页共4页第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点．3、函数零点的求法：○1（代数法）求方程0)(xf的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、基本初等函数的零点：①正比例函数(0)ykxk仅有一个零点。②反比例函数(0)kykx没有零点。③一次函数(0)ykxbk仅有一个零点。④二次函数)0(2acbxaxy．（1）△＞０，方程20(0)axbxca有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程20(0)axbxca有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程20(0)axbxca无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．⑤指数函数(0,1)xyaaa且没有零点。⑥对数函数log(0,1)ayxaa且仅有一个零点1.⑦幂函数yx，当0n时，仅有一个零点0，当0n时，没有零点。5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成0fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,yy（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。6、选择题判断区间,ab上是否含有零点，只需满足0fafb。Eg：试判断方程在区间01224xxx[0,2]内是否有实数解？并说明理由。第2页共4页8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点．一元二次方程根的分布的基本类型设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx.k为常数，则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：表一：（两根与0的大小比较）分布情况两个负根即两根都小于0120,0xx两个正根即两根都大于0120,0xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f第3页共4页综合结论（不讨论a）00200baaf00200baaf00fa表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即12xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaafk020bkaafk0kfakkk第4页共4页表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq或00fmfnfpfq综合结论（不讨论a）——————0nfmf00qfpfnfmf