2018高考数学专题复习突破训练(高考真题专题练)-构造函数解决高考导数问题

WORD格式整理版学习好帮手构造函数解决高考导数问题1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数aaxxexfx)12()(，其中1a，若存在唯一的整数0x使得0)(0xf，则a的取值范围是（）A．)1,23[eB．)43,23[eC．)43,23[eD．)1,23[e2.（2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=．3.（2016·北京理）（本小题13分）设函数f(x)=xaxe+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e－1)x+4，（I）求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间．4.（2017·全国III卷文）（12分）已知函数()fx=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a﹤0时，证明3()24fxa．5.（2016•四川卷文）（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=1x－eex，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.WORD格式整理版学习好帮手6.（2016•课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）已知函数()(1)ln(1)fxxxax.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）若当1,x时，()0fx＞，求a的取值范围.7.（2017·天津文）（本小题满分14分）设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxaaxb，()e()xgxfx.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）已知函数()ygx和xye的图像在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：()fx在0xx处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式()exgx在区间00[1,1]xx上恒成立，求b的取值范围.8.（2016·江苏）（本小题满分16分）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a=2，b=12．①求方程f（x）=2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）－6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）－2有且只有1个零点，求ab的值．WORD格式整理版学习好帮手9.（2016·山东理）(本小题满分13分)已知221()ln,xfxaxxaRx.（I）讨论()fx的单调性；（II）当1a时，证明3()'2fxfx＞对于任意的1,2x成立.10.(2017·江苏文)（本小题满分16分）已知函数3210fx=xaxbx(a,bR)有极值，且导函数fx的极值点是fx的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b²3a;(3)若fx，fx这两个函数的所有极值之和不小于7-2，求a的取值范围.WORD格式整理版学习好帮手构造函数解决高考导数问题答案1.（2015·课标全国Ⅰ理）设函数aaxxexfx)12()(，其中1a，若存在唯一的整数0x使得0)(0xf，则a的取值范围是（）A．)1,23[eB．)43,23[eC．)43,23[eD．)1,23[e【答案】D【解析】由题意，存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0，即存在唯一的整数x0，使0xe(2x0－1)＜a(x0－1)．设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝a(x－1)．g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)，从而当x∈－∞，－12时，g(x)单调递减；当x∈－12，＋∞时，g(x)单调递增．又h(x)＝a(x－1)必过点(1，0)，g(0)＝－1，当g(0)＝h(0)时，a＝0－（－1）1－0＝1.而g(－1)＝－3e，当g(－1)＝h(－1)时，a＝0－－3e1－（－1）＝32e，要满足题意，则32e≤a＜1，选D.【点评】关键点拨：把“若存在唯一的整数x0，使得f(x0)＜0”转化为“若存在唯一的整数x0，使得0xe(2x0－1)＜a(x0－1)”．测训诊断：本题难度较难，主要考查导数知识的应用．考查转化与化归思想．2.（2016·课标全国II卷理）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+１)的切线，则b=．【答案】1－ln2【解析】设y＝kx＋b切y＝lnx＋2的切点为(x1，y1)，切y＝ln(x＋1)的切点为(x2，y2)．由导数的几何意义和切点的特征可知kx1＋b＝lnx1＋2＝y1，k＝1x1，①kx2＋b＝ln（x2＋1）＝y2，k＝1x2＋1.②由①消去x1，y1整理可得b＝1－lnk，③由②消去x2，y2整理可得b＝－lnk＋k－1.④联立③④可得1－lnk＝－lnk＋k－1，∴k＝2，∴b＝1－lnk＝1－ln2.【点评】关键点拨：关于函数的切线问题，我们要利用导数的几何意义，构建等量关系．还需注意切点既在函数图像上，也在切线上．对于切点不明确的，需要设出切点，再合理表达WORD格式整理版学习好帮手求解．测训诊断：(1)利用导数的几何意义求解切线问题，是高中导数知识的重要部分，应熟练掌握基本题型，在此基础上加强综合题的训练．(2)本题有一定深度，难度，考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力，争取得分．3.（2016·北京理）（本题满分13分）设函数f(x)=xaxe+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e－1)x+4，（I）求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝xea-x＋bx，所以f′(x)＝(1－x)ea-x＋b.依题设，有f（2）＝2e＋2，f′（2）＝e－1，即2ea-2＋2b＝2e＋2，－ea-2＋b＝e－1.解得a＝2，b＝e.(2)由(1)知f(x)＝xe2-x＋ex，由f′(x)＝e2-x(1－x＋ex-1)及e2-x0知，f′(x)与1－x＋ex-1同号．令g(x)＝1－x＋ex-1，则g′(x)＝－1＋ex-1.令g′(x)＝0，得x＝1.所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．故g(1)＝1是g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g(x)0，x∈(－∞，＋∞)．综上可知，f′(x)0，x∈(－∞，＋∞)．故f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．【点评】测训诊断：(1)本题难度易，主要考查导数的几何意义和函数单调区间的求解．(2)本题若失分，多是对导致的概念理解不清或计算出错．4.（2017·全国III卷文）（12分）已知函数()fx=lnx+ax2+(2a+1)x．（1）讨论()fx的单调性；（2）当a﹤0时，证明3()24fxa．WORD格式整理版学习好帮手解：（1）)0()1)(12(1)12(2)('2xxxaxxxaaxxf当0a时，0)('xf，则)(xf在),0(单调递增当0a时，则)(xf在)21,0(a单调递增，在),21(a单调递减.（2）由（1）知，当0a时，max111()()ln1224fxfaaa1311()(2)ln()12422faaaa－，令tty1ln（021at），令011'ty，解得1t∴y在)1,0(单调递增，在),1(单调递减.∴max(1)0yyy，即)243()(maxaxf，∴243)(axf.5.（2016•四川卷文）（本题满分14分）设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=1x－eex，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立.解：(1)f′(x)＝2ax－1x＝2ax2－1x(x0)．当a≤0时，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a0时，由f′(x)＝0得x＝12a.当x∈0，12a时，f′(x)0，f(x)单调递减；当x∈12a，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递增．(2)证明：令s(x)＝ex-1－x，则s′(x)＝ex-1－1.当x1时，s′(x)0，所以ex-1x，从而g(x)＝1x－eex0.(3)由(2)知，当x1时，g(x)0.当a≤0，x1时，f(x)＝a(x2－1)－lnx0.WORD格式整理版学习好帮手故当f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a0.当0a12时，12a1.由(1)有f12af(1)＝0，而g12a0.所以此时f(x)g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a≥12时，令h(x)＝f(x)－g(x)(x1)，则h′(x)＝2ax－1x＋1x2－e1-xx－1x＋1x2－1x＝x3－2x＋1x2x2－2x＋1x20.因此，h(x)在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h(1)＝0，所以当x1时，h(x)＝f(x)－g(x)0，即f(x)g(x)恒成立．综上，a∈12，＋∞.【点评】关键点拨：第(1)问中对a的讨论是关键，第(3)问中恒成立求参数化归为函数求最值，最值的求解是难点．测训诊断：(1)本题难度较大，主要考查分类讨论求单调区间、构造函数证明不等式、不等式恒成立求参数取值范围问题．(2)考生失分主要体现两点：①分类讨论不全面；②在第(3)问中不等式恒成立求参数范围转化为函数求最值时，计算过程出现失误．6.（2016•课标全国Ⅱ文）（本小题满分12分）已知函数()(1)ln(1)fxxxax.（I）当4a时，求曲线()yfx在1,(1)f处的切线方程；（Ⅱ）若当1,x时，()0fx＞，求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′(x)＝lnx＋1x－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0.所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)0等价于lnx－a（x－1）x＋10.设g(x)＝lnx－a（x－1）x＋1，则g′(x)＝1x－2a（x＋1）2＝x2＋2（1－a）x＋1x（x＋1）2，g(1)＝0.当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋10，即g′(x)0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此g(x)0；当a2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－（a－1）2－1，x2＝a－1＋（a－1）2－1.由x21和x1x2＝1得x11，故当x∈(1，x2)时，g′(x)0，g(x)在(1，x2)上单调递减，WORD格式整理版学习好帮手因此g(x)0，此时不满足题意．综上，a的取值范围是(－∞，2]．【点评】关键点拨：第一问，给定参数a＝4，函数f(x)就确定，从而可求出切点为(1，0)，再结合导数的几何意义，得到斜率k＝f′(1)＝－2，利用点斜式即可求出切线方程．第二问是恒成立问题，可适当转化，另外要注意函数的端点值，这样可以减少讨论的步骤．测训诊断：(1)利用导数解决相关问题，往往都有一定的深度和广度，本题考查较常规，容易上手，但也不易得满分；(2)导数题区分度较大，要根据自身情况，量力而行，不轻易放弃，规范步骤，把会做的做好，也会有所收获．7.（2017·天津文）（本小题满分14分）设,abR，||1a.已知函数32()63(4)fxxxa