数学欣赏1

主讲：张文俊深圳大学数学与计算科学学院张文俊TheBeautyofMathematics数学之美分形动画数学之美E-mail:[e-mail]1.三角形（3）三角形的边长关系任何形状的三角形，其任意两边长之和一定大于第三边。为什么？——两点之间以直线距离最短！这一结论构成美国三权分立中权力分配的理论基础。1.三角形（4）三角形的内角和任何三角形三内角之和都是180°(=)。1.三角形因此，在两个直角三角形中，若一个相应内（锐）角相等，则三角必对应相等，因而必是相似三角形，从而对应边之比就是相等的。边长相同必形同，角度相同只形似于是就有了只依赖于角度大小的三角函数。31.三角形推广：一般n边形的内角和：(n-2)。更一般和更本质的结果是：任何凸n边形的外角和都是360°。（想一想：为什么？）21.三角形我正好转了一圈[e-mail]②2.n边形内角和的应用这是一个广泛适用的公式：一般n边形的内角和：(n-2)2.n边形的内角和的应用（1）蜂窝中的数学2.n边形的内角和的应用蜜蜂建造蜂窝是六角柱形的，这是为什么呢？n边形的内角和公式可以解释这个原因。Why?2.n边形的内角和的应用拼装技术：房屋装修时，基本要求是：地砖之间应该严丝合缝，既无空白，也无重叠。这种铺拼图案的方法叫做拼装技术（Tiling）。附加要求是：地砖应该采用同一种样式。这种方法叫做一元拼装。如果每一块地砖都要求是同一种正多边形，这种方法叫做正规一元拼装。SymmetricTilings2.n边形的内角和的应用PeriodicTilingsNon-PeriodicTilings2.n边形的内角和的应用PenroseTilings2.n边形的内角和的应用2.n边形的内角和的应用能用作正规一元拼装的正多边形只有三种：2.n边形的内角和的应用为什么？看一个顶点：此处围聚了m个正n边形。由于正n边形的一个内角为，nn2由此知(m-2)(n-2)=4，故有n-2=1,2,4，即n=3,4,6。该顶点处各内角之和应是2，即应该满足，22nnm2.n边形的内角和的应用•三种正规一元拼装–正三角形-正方形-正六边形2.n边形的内角和的应用怎样拼装？2.n边形的内角和的应用蜜蜂的道理：可以用作正规一元拼装的三种正多边形中，对于给定面积来讲，正六边形周长最小。2.n边形的内角和的应用蜜蜂知道：把蜂窝建造成六角柱形，这样可以用最少材料、付出最小的劳动围出相同的空间。聪明呀！2.n边形的内角和的应用正六边形还有其它许多优越性或特点比如：2.n边形的内角和的应用（2）正多面体的种类2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•各种各样的多面体2.n边形的内角和的应用•欧拉公式:任何凸多面体的面数F、边（棱）数E、顶点数V之间具有一种永恒的关系——F–E+V=2.2.n边形的内角和的应用特殊的多面体——正多面体：•正多面体（Regularpolyhedron，或称柏拉图立体Platonicsolid）指各面都是相同的正多边形的凸多面体。•判断正多面体的依据有三条：正多面体的面由正多边形构成正多面体的各个顶角相等正多面体的各条楞边相等2.n边形的内角和的应用利用欧拉公式可以简单地证明，正多面体只有五种：2.n边形的内角和的应用只要利用n边形的内角和公式，也可以简单地证明这个结论。2.n边形的内角和的应用怎么证明？看一个顶点：此处围聚了m个正n边形。由于正n边形的一个内角为，nn2由此知(m-2)(n-2)4，从而该顶点处各内角之和应小于2，即应该满足，22nnm2.n边形的内角和的应用（m,n）以及正多面体的情况只能有（3，3）正四面体；（3，4）正六面体；（4，3）正八面体；（3，5）正十二面体；（5，3）正二十面体。看清楚一些……32.n边形的内角和的应用正四面体（3，3）32.n边形的内角和的应用正八面体（4，3）32.n边形的内角和的应用正二十面体（5，3）32.n边形的内角和的应用正六面体（3，4）32.n边形的内角和的应用正十二面体（3，5）32.n边形的内角和的应用其中正四、八、二十面体的各面是正三角形；正六面体的各面是正方形；正十二面体的各面是正五边形。22.n边形的内角和的应用这些是基本三角形这里产生黄金比例2.n边形的内角和的应用一点历史：关于正多面体，早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派就已经发现正多面体只有正四、六、八、十二、二十面体这五种。他们还从宗教的角度据此解释了他们“万物皆数”的信条。2.n边形的内角和的应用他们认为：上帝创造了整数“1”，然后由“1”生“2”，由“2”生“3”，以致生出所有的自然数，进而生出所有的（分）数——有理数；再由数生点，由点生线，由线生面，由面生体，由此生出“水、气、火、土”四种元素，最后生出世间万物——物质的和精神的世界。2.n边形的内角和的应用这里的体，指的是由两种基本三角形生成的正四、六、八、二十面体这四种，它们分别代表“火、土、气、水”四种元素。而正十二面体的各面由正五边形组成，正五边形是毕达哥拉斯学派的神秘符号，能产生黄金比例，代表了整个宇宙的和谐之美。2.n边形的内角和的应用火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。2.n边形的内角和的应用空气是用正八面体制的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。2.n边形的内角和的应用当水放到人的手上，它会自然流出，水的自然形态接近球形，好像正二十面体。2.n边形的内角和的应用一个非常不像球体的立体——正方体，表示地球。（天圆地方）2.n边形的内角和的应用剩下一个正十二面体，柏拉图以不太清晰的语调写到：“神使用正十二面体以整理整个天堂的星座。”柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——aithêr(拉丁文：aether，中文：以太），并认为天堂是用此组成，但他没有将以太和正十二面体联系起来。32.n边形的内角和的应用正多面体的用途：•因为正多面体的形状的骰子会较公平，所以正多面体骰子经常出现于角色扮演游戏。•正四面体、立方体和正八面体，亦会自然出现于结晶体的结构。•正多面体经过削角操作可以得到其他对称性结构，比如著名的球状分子碳六十空间结构就是正十二面体经过削角操作得到的。22.n边形的内角和的应用•正多面体和由正多面体衍生的削角正多面体大多有很好的空间堆积性质，即可以在空间中紧密堆积。因此常常选择正多面体形或者削角正多面体形的盒子作为分子模拟计算的周期边界条件。1直角③最基本的三角形——直角三角形3.直角三角形在三角形中，直角三角形是一类极端重要的特殊三角形，也是人类最早认识和感兴趣的一类三角形，任何三角形都可以分解为两个直角三角形。3.直角三角形勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，即222zyx（1）勾股定理是联系数学中最基本、也最原始的两个对象——数与形的第一定理；3.直角三角形3.直角三角形（2）勾股定理导致了不可通约量的发现，深刻揭示了数与量的区别，导致了无理数的发现；3.直角三角形（3）勾股定理开始把数学由实验数学（计算与测量）阶段转变到演绎数学（推理与证明）阶段；3.直角三角形（4）勾股定理的三边关系式是最早得到完满解答的不定方程，它也导致了包括费马大定理在内的各式各样的不定方程的研究。3.直角三角形几何观点——面积在几何方面，一个正实数的平方代表了以此数为边长的正方形的面积，而勾股定理表明，以直角三角形斜边长为边的正方形的面积等于分别以两直角边为边长的正方形的面积之和。几何原本的证明3.直角三角形3.直角三角形几何原本的证明3.直角三角形几何原本的证明3.直角三角形几何原本的证明3.直角三角形几何原本的证明a2b23.直角三角形出入相补3.直角三角形出入相补3.直角三角形出入相补3.直角三角形出入相补c2a2+b2=c23.直角三角形出入相补3.直角三角形出入相补3.直角三角形出入相补美国宇航局在1972年3月2日发射星际飞船“先锋10号”带着证明勾股定理的“出入相补图”飞向太空。3.直角三角形代数观点——不定方程：求以下不定方程的正整数解222zyx3.直角三角形公元7世纪初，印度数学家给出了下述统一解：22222nmznmymnx其中m，n互素，且奇偶性不同。222zyx3.直角三角形特征美：在边长是整数的直角三角形中1)勾股中必有一个数是3的倍数；2)勾股中必有一个数是4的倍数；3)勾股弦必有一个数是5的倍数；3.直角三角形4)不存在勾股同是奇数而弦为偶数的配合；5)弦与勾股中某一数之和、之差均为完全平方数；6)弦与勾股中某一数之算术平均为完全平方数。33.直角三角形引申：费马大定理方程3,nzyxnnn没有正整数解。23.直角三角形1994年，英国青年数学家AndrewWiles（1953---）证明了这一猜想。他的证明，得益于法国数学家笛卡尔建立的解析几何，该方法使代数问题与几何问题可以互化，因此代数问题转化为几何问题研究。1坐标④坐标与距离,神奇的单位圆与三角函数4-1坐标与距离17世纪法国数学家笛卡儿引入坐标系的观念，创立了解析几何，将几何问题转化为代数问题研究。平面图形可以通过方程或不等式来描述。根据勾股定理，坐标平面上两点(x1,y1),(x2,y2)之间的距离为221221yyxx4-1坐标与距离圆（单位圆）的方程为圆的高度对称性在这里得到了充分的体现。122yx14-2神奇的单位圆与三角函数古希腊毕达哥拉斯学派认为：“一切立体图形中最美丽的是球形，一切平面图形中最美丽的是圆形”。4-2神奇的单位圆与三角函数圆形在自然界中随处可见；圆具有高度的对称性，匀称、稳定、和谐。4-2神奇的单位圆与三角函数从动的眼光看，大至宇宙、小至粒子，都有圆的痕迹：星球及其运动轨道，下落中的水滴，石块投入水面产生的波纹，树干的截面等。从静的眼光看，圆具有高度的对称性，其形状增之嫌多，减之嫌少，唯此最为完备，匀称、稳定、和谐。4-2神奇的单位圆与三角函数单位圆作为一种特殊的圆，沟通了解析几何、三角函数、平面几何、初等代数、复变函数的深刻联系，体现了数学结构的和谐与一致性。14-2神奇的单位圆与三角函数利用单位圆中的有向线段定义的三角函数，具有鲜明的直观性。圆方程122yx1sincos22直接孕育着三角恒等式众多的三角恒等式都借助于单位圆的匀称、稳定与和谐而显现出其对称、和谐之美。4-2神奇的单位圆与三角函数4-2神奇的单位圆与三角函数单位圆周上的复数1-ii-1өsincosiei34-2神奇的单位圆与三角函数1748年欧拉发现的欧拉公式把所有的三角公式都包括进去了。比如sincosiei1sincossincossincos022eeexixxixxxixix24-2神奇的单位圆与三角函数欧拉公式也在复数域内把三角函数都归结为指数函数，从而所有的初等函数都归结为指数函数及其反函数的加减乘除。比如znnizizizizezeezieezln.2cos;2sin1特例⑤欧拉公式的特例——五个重要常数的关系5.欧拉公式的特例在欧拉公式中取ө=，得到五个重要常数的关系sincosiei01ie1e⑥e—自然变化规律6.e——自然变化规律e就是大家熟悉的“自然对数的底”，称其为“自然”，实实在在地是因为它反映了万物生老病死的自然规律。6.e——自然变化规律最大复利问题：中国人民银行决定，从2005年9月21日起，银行存款将采取新的计息方式:活期存款将由按年结息调整为按季结息。原来活期存款，都是一年结一次利息，即每年6月30日为结息日，7