异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。常用方法有：1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。例1已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。思路分析：由四边形ABCD和CDEF是正方形，得CD⊥AD，CD⊥DE，即CD⊥平面ADE，过D作DH⊥AE于H，可得DH⊥AE，DH⊥CD，所以DH是异面直线AE、CD的公垂线。在⊿ADE中，∠ADE=1200，AD=DE=a，DH=2a。即异面直线CD与AE间的距离为2a。2垂直平面法：转化为线面距离，若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线a/，记a/与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。例1如图，BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d，求两条异面直线BF、AE间的距离。思路分析：BF、AE两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d，在平面Q内，过B作BH‖AE，将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q是直二面角，过A作AC⊥AB交BF于C，即AC⊥平面ABD，过A作AD⊥BD交于D，连结CD。设A到平面BCD的距离为h。由体积法VA-BCD=VC-ABD，得h=22coscos1sinsind3转化为面面距离若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈ABHDCEFFCPAGβBαQEHDβ。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。例3已知：三棱锥S-ABC中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS与BC的距离。思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x、y、z，则222222222222131415BCxzACzyAByx解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA‖平面BC，平面SA、平面BC间的距离是2，所以异面直线AS与BC的距离是2。4代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。例4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求A1B与D1B1的距离。思路分析：在A1B上任取一点M，作MP⊥A1B1，PN⊥B1D1，则MN⊥B1D1，只要求出MN的最小值即可。设A1M=x，则MP=22x，A1P=22x。所以PB1=a–22x，PN=（a–22x）sin450=21（2a–x），MN=22PNPM=222232)32(23ax。当x=a32时，MNmin=a33。5公式法异面直线间距离公式：d=cos2222mnnmAB求得异面直线间的距离。例5已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。D1C1NA1PB1MDCABSCABCSBAAOO/B思路分析：在圆柱底面上AO⊥OO/，BO/⊥OO/，又OO/是圆柱的高，AB=5，所以d=233。即异面直线AB与轴OO/之间的距离为233。6射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。例6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，M、N分别是棱AB、CC1的中点，E是BD的中点。求异面直线D1M、EN间的距离。思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D1M、EN射影到同一平面BC1内，转化为BC1、QN的距离，显然，易知BC1、QN的距离为42。所以异面直线D1M、EN间的距离为42。7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长。例7已知：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是DA在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题过程，总结解题步骤。解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz∴D(0,0,0)A1(1,0,1)A(1,0,0)C(0,1,0)∴)1,0,1(1DA)0,1,1(AC设异面直线DA1与AC的法向量)1,,(yxn∴ACnDAn且,1∴0,01ACnDAn∴001yxx11yx)1,1,1(n)0,0,1(DA||||nnDAd3331∴异面直线DA1与AC的距离为33步骤小结：求异面直线间的距离:⑴建立空间直角坐标系；⑵写出点的坐标，求出向量坐标；⑶求出异面直线的法向量的坐标；⑷代入异面直线间的距离公式。例8已知：SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜,SA=AB=BC=a,AD=2a，D1C1A1B1NDCEQAMBABCDD1C1A1B1SADBC求A到平面SCD的距离。解：如图所示建立空间直角坐标系A—xyz∴A（0,0,0）C(a,a,0)D(0,2a,0)S(0,0,a)∴AD=(0,2a,0)SC=(a,a,-a)SD=(0,2a,-a)设面SCD的一个法向量n=(x,y,1)∴n⊥SC且n⊥SD∴n•SC=0且n•SD=0∴020aayaayax2121yx∴n=(,,21211)∴点A到面SCD的距离为36annADd∴点A到面SCD的距离为36a八等积法把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高的长度。例：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．设BC与平面SAD间的距离为d，则以B为顶点，△SAD为底面的三棱锥的体积为而以S为顶点，△ABD为底面的三棱锥的体积为