高二数学选修21空间向量与立体几何单元测试题

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）1、若a,b,c是空间任意三个向量,R,下列关系式中,不成立的是（）A．abbaB．ababC．abcabcD．ba2、给出下列命题①已知ab,则abccbabc;②A、B、M、N为空间四点,若,,BABMBN不构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面;③已知ab,则,ab与任何向量不构成空间的一个基底;④已知,,abc是空间的一个基底,则基向量,ab可以与向量mac构成空间另一个基底.正确命题个数是（）A．1B．2C．3D．43、已知,ab均为单位向量,它们的夹角为60,那么3ab等于（）A．7B．10C．13D．44、1,2,,abcab且ca,则向量ab与的夹角为（）A．30B．60C．120D．1505、已知3,2,5,1,,1,abx且2ab,则x的值是（）A．3B．4C．5D．66、若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,则能使//l的是（）A．1,0,0,2,0,0anB．1,3,5,1,0,1anC．0,2,1,1,0,1anD．1,1,3,0,3,1an7、在平面直角坐标系中,(2,3),(3,2)AB,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为（）A．2B．211C．32D．428、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1中点,则E到平面ABC1D1的距离是（）A．32B．22C．12D．33二、填空题（本大题共6小题，每空5分，共30分）9、已知123Fijk，223Fijk，3345Fijk，若123,,FFF共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是.10、在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60,AD=4,AB=3,AA1=5,1AC=.11、△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则AD与平面BCD所成角的余弦值为.12、若直线l的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为(2,1,-1),且l⊥,则m=.13、已知A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段AB的中点M的坐标为.三、解答题（本大题共6小题，共80分）14、(本题满分12分)设空间两个不同的单位向量1122,,0,,,0axybxy与向量1,1,1c的夹角都等于45.(1)求11xy和11xy的值;(2)求,ab的大小.15、(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,E为PC上的点且CE：CP=1：4,则在线段AB上是否存在点F使EF//平面PAD?17、(本题满分14分)如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得PSPD.(1)求a的最大值;(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n及点P到平面SCD的距离.18、(本题满分14分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,2,ABAF=1,M是线段EF的中点.(1)求证：AM//平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF．19、(本题满分14分)如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①32a;②1a;③3a;④2a;⑤4a;(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;20、(本题满分14分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=2a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小；(3)棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.参考答案：一、选择题题号12345678答案DCCCCDBB二、填空题题号91011121314答案14973022-21,2,32三、解答题15、解：（1）依题意，222211111111111161122612324xyxyxyxyxyxy；(2)∵单位向量1122,,0,,,0axybxy与向量1,1,1c的夹角都等于45.∴由111111116262644216262444xxxyxyyy或,∴62626262,,0,,,04444ab由1212626262621cos,44442xxyyabab∴,.3ab16、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=b，则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),则,,CPaab,∵E为PC上的点且CE：CP=1：3,∴11,,,,44444aabCECPaab∴由33,,444aabCEAEACAECEAC,设点F的坐标为(x,0,0,)(0≤x≤a),则33,,444aabEFx,又平面PAD的一个法向量为,0,0ABa,依题意,33044aaEFABxax,∴在线段AB上存在点F,满足条件,点F在线段AB的34处.17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0).(0x2)(1)∵,,1,PSax,2,0PDax∴由PSPD得:2(2)0axx即:2(2)(02)axxx∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;(2)由(1)知:(1,1,0),(0,2,1),APSD∴210cos,,525APSDAPSDAPSD∴异面直线AP与SD所成角的大小为10cos.5arc(3)设1,,nxyz是平面SCD的一个法向量,∵(1,0,0),(0,2,1),SDDC∴由1111000201021xxnDCnDCyzynSDnSDzy取得1(0,1,2),n∴平面SCD的一个单位法向量1115250,1,2(0,,),555nnn又(0,1,0),CP在n方向上的投影为555,15nnCP∴点P到平面SCD的距离为5.518、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).(1)∵(0,1,1),(0,1,1)AMOE∴AMOE,即AM//OE,又∵AM平面BDE,OE平面BDE,∴AM//平面BDE;(2)∵(2,0,0),(1,1,1),BDDF∴0,0AMBDAMDF,∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)(1)∵,,2,,2,0,PQaxQDax∴由PQ⊥QD得22(2)0(2)PQQDaxxaxx∵20,2,(2)0,1xaxx∴在所给数据中,a可取32a和1a两个值.(2)由(1)知1a,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为(1,1,0)从而1,1,2,PQ又1,0,0AB为平面ADP的一个法向量,∴16cos,661PQABPQABPQAB,∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为5.5(3)由(1)知32a,此时13,22xx或,即满足条件的点Q有两个,其坐标为123133,,0,,02222QQ和∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.由12121233344cos,213AQAQAQAQAQAQ,得∠Q1AQ2=30,∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30.20、解：（1）∵PA=AC=a，PB=PD=2a∴222222,,PAABPBPAADPD∴PA⊥AB且PA⊥AD，∴PA⊥平面ABCD，（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC∩BD=O，∴以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：0,,0,2aA3,0,0,2aB0,,0,2aC3,0,0,2aD0,,,2aPa∵点E在PD上,且PE：ED=2：1.∴3DPDE，即：3DPOEOD∴3,,363aaOEa，即点E的坐标为3,,363aaEa又平面DAC的一个法向量为10,0,1n设平面EAC的一个法向量为2,,,nxyz0,,02aOC，3,,363aaOEa由2222021030036303ayxnOCnOCaaaxyzynOEnOEz取x=1，得21,0,3,n∴1212121233cos,,1226nnnnnnnn∴由图可知二面角E-AC-D的大小为.6（3）设在CP上存在点F，满足题设条件，由(01)CFCP，得120,,2OFOCCPaa∴1233120,,,0,0,,2222aBFaaaaa依题意，则有2BFn∴312,,22aaa1,0,30313022aa∴点F为PC中点时,满足题设条件.一.选择题：(10小题共40分)1.已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是()A.OCOBOAOMB.OCOBOAOM2C.OCOBOAOM3121D.OCOBOAOM3131312.直三棱柱ABC—A1B1C1中，若BACCCbCBaCA11,,,则()A.cbaB.cbaC.cbaD.cba3.若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0()A.nm//B.nmC.nmnm也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是()A.若OBOAOP3121,则P、Ａ、Ｂ三点共线B.设向量},,{cba是空间一个基底，则{a+b，b+c，c+a}构成空间的另一个基底C.cbacba)(D.△ABC是直角三角形