2019届一轮复习北师大版理-立体几何-课件(54张)

高考大题专项突破四高考中的立体几何高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析考情分析-2-从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.三视图、简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式加以考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-3-题型一题型二题型三题型四题型一平行与垂直关系的证明(多维探究)类型一适合用几何法证明例1(2017江苏,15)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-4-题型一题型二题型三题型四证明:(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊈平面ABC,AB⫋平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⫋平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⫋平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⫋平面ABC,BC⫋平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⫋平面ABC,所以AD⊥AC.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-5-题型一题型二题型三题型四解题心得从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-6-题型一题型二题型三题型四对点训练1在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.(1)求证:PB∥平面FAC;(2)求三棱锥P-EAD的体积;(3)求证:平面EAD⊥平面FAC.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-7-题型一题型二题型三题型四(1)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OF.在△PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OF∥PB.又因为OF⫋平面FAC,PB⊈平面FAC,所以PB∥平面FAC.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-8-题型一题型二题型三题型四(2)解:因为PA⊥平面ABCD,所以PA为三棱锥P-ABD的高.因为PA=AB=2,底面ABCD是正方形,(3)证明:因为AD⊥平面PAB,PB⫋平面PAB,所以AD⊥PB.在等腰直角三角形PAB中,AE⊥PB,又AE∩AD=A,AE⫋平面EAD,AD⫋平面EAD,所以PB⊥平面EAD,又OF∥PB,所以OF⊥平面EAD,又OF⫋平面FAC,所以平面EAD⊥平面FAC.所以VP-ABD=13×S△ABD×PA=13×12×2×2×2=43.因为E为PB中点,所以S△PAE=S△ABE,所以VP-EAD=12VP-ABD=23.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-9-题型一题型二题型三题型四类型二适合用向量法证明例2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°,E是PA的中点.求证:(1)直线PC∥平面BDE;(2)BD⊥PC.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-10-题型一题型二题型三题型四证明:连接AC,与BD交于点O.因为∠BAD=60°,AB=2,底面ABCD为菱形,所以BO=1,AO=CO=3,AC⊥BD.如图,以O为坐标原点,以OB,OC所在直线分别为x轴、y轴,过点O且平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则P(0,-3,2),A(0,-3,0),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0),E(0,-3,1).高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-11-题型一题型二题型三题型四(1)设平面BDE的法向量为n1=(x1,y1,z1),𝐵𝐸=(-1,-3,1),𝐵𝐷=(-2,0,0),由𝑛1·𝐵𝐷=0,𝑛1·𝐵𝐸=0,得-2𝑥1=0,-𝑥1-3𝑦1+𝑧1=0,令z1=3,得y1=1,所以n1=(0,1,3).又𝑃𝐶=(0,23,-2),所以𝑃𝐶·n1=0+23-23=0,即𝑃𝐶⊥n1,又PC⊈平面BDE,所以PC∥平面BDE.(2)因为𝑃𝐶=(0,23,-2),𝐵𝐷=(-2,0,0),所以𝑃𝐶·𝐵𝐷=0.故BD⊥PC.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-12-题型一题型二题型三题型四解题心得利用空间向量证明空间的平行或垂直关系,首先建立空间直角坐标系,然后用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量,最后利用向量的数量积或数乘运算证明.用向量方法证明直线a∥b,只需证明向量a=λb(λ∈R)(其中a,b分别是直线a与b的方向向量);证直线和平面垂直,只需证直线的方向向量与平面的法向量共线;证直线和平面平行,除证直线的方向向量与平面的法向量垂直外,还需强调直线在平面外.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-13-题型一题型二题型三题型四对点训练2(2017北京海淀一模,理18)如图,由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中,∠BAC=90°,AB=1,BC=BB1=2,C1D=CD=,平面CC1D⊥平面ACC1A1.(1)求证:AC⊥DC1.(2)若M为DC1的中点,求证:AM∥平面DBB1.(3)在线段BC上是否存在点P,使直线DP与5平面BB1D所成的角为π3?若存在,求𝐵𝑃𝐵𝐶的值;若不存在,说明理由.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-14-题型一题型二题型三题型四(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,故AC⊥CC1,由平面CC1D⊥平面ACC1A1,且平面CC1D∩平面ACC1A1=CC1,所以AC⊥平面CC1D,又C1D⫋平面CC1D,所以AC⊥DC1.(2)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又∠BAC=90°,所以,如图建立空间直角坐标系,依据已知条件可得A(0,0,0),C(3,0,0),C1(3,2,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),D(3,1,2),高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-15-题型一题型二题型三题型四所以𝐵𝐵1=(0,2,0),𝐵𝐷=(3,1,1),设平面DBB1的法向量为n=(x,y,z),由𝑛·𝐵𝐵1=0,𝑛·𝐵𝐷=0,即2𝑦=0,3𝑥+𝑦+𝑧=0,令x=1,则z=-3,y=0,于是n=(1,0,-3),因为M为DC1中点,所以M3,32,1,所以𝐴𝑀=3,32,1,由𝐴𝑀·n=0,可得𝐴𝑀⊥n,又AM⊈平面BB1D,所以AM∥平面DBB1.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-16-题型一题型二题型三题型四(3)解:由(2)可知平面BB1D的法向量为n=(1,0,-3).设𝐵𝑃=λ𝐵𝐶,λ∈[0,1],则P(3λ,0,1-λ),𝐷𝑃=(3λ-3,-1,-1-λ).若直线DP与平面DBB1所成角为π3,令n与𝐷𝑃的夹角为α,则|cosα|=|𝑛·𝐷𝑃||𝑛||𝐷𝑃|=|23𝜆|24𝜆2-4𝜆+5=32,解得λ=54∉[0,1].故不存在这样的点.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-17-题型一题型二题型三题型四题型二与平行、垂直有关的存在性问题例3如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.5𝐴𝑀𝐴𝑃高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-18-题型一题型二题型三题型四(1)证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解:取AD的中点O,连接PO,CO.因为PA=PD,所以PO⊥AD.又因为PO⫋平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因为CO⫋平面ABCD,所以PO⊥CO.因为AC=CD,所以CO⊥AD.如图建立空间直角坐标系.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-19-题型一题型二题型三题型四由题意,得A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则𝑛·𝑃𝐷=0,𝑛·𝑃𝐶=0,即-𝑦-𝑧=0,2𝑥-𝑧=0.令z=2,则x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又𝑃𝐵=(1,1,-1),所以n与𝑃𝐵夹角的余弦值为𝑛·𝑃𝐵|𝑛||𝑃𝐵|=-33.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33.(3)解:设M是棱PA上一点,则存在λ∈[0,1],使得𝐴𝑀=λ𝐴𝑃.因此点M(0,1-λ,λ),𝐵𝑀=(-1,-λ,λ).因为BM⊈平面PCD,所以BM∥平面PCD,当且仅当𝐵𝑀·n=0,即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0,解得λ=14.所以在棱PA上存在点M,使得BM∥平面PCD,此时𝐴𝑀𝐴𝑃=14.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-20-题型一题型二题型三题型四解题心得1.先假设题中的数学对象存在(或结论成立),然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.2.空间向量最适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把“是否存在”问题转化为“方程或方程组是否有解”,即通过坐标运算进行判断,这就是计算推理法.高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-21-题型一题型二题型三题型四对点训练3(2017北京海淀区二模,理17)如图,三棱锥P-ABC,侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形,边长为2,顶点P在平面ABC上的射影为D,有AD⊥DB,且DB=1.(1)求证:AC∥平面PDB.(2)求二面角P-AB-C的余弦值.(3)线段PC上是否存在点E使得PC⊥平面ABE?如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.𝐶𝐸𝐶𝑃高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-22-题型一题型二题型三题型四(1)证明:因为AD⊥DB,且DB=1,AB=2,所以AD=,所以∠DBA=60°.因为△ABC为正三角形,所以∠CAB=60°,又由已知可知ACBD为平面四边形,所以DB∥AC.因为AC⊈平面PDB,DB⫋平面PDB,所以AC∥平面PDB.(2)解:由点P在平面ABC上的射影为D,可得PD⊥平面ACBD,所以PD⊥DA,PD⊥DB.如图,以D为原点,DB为x轴,DA为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,3高考大题专项突破四高考中的立体几何考情分析典例剖析典例剖析-23-题型一题型二题型三题型四则由已知可知B(1,0,0),A(0,3,0),P(0,0,1),C(2,3,0).平面ABC的法向量n=(0