空间向量与立体几何之夹角的计算

1.直线间的夹角1210,2ll当两条直线与共面时，我们把两条直线交角中，范围在内的角叫作两直线的夹角.1l2lABC12121122AAB//ABlllllll当直线与是异面直线时，在直线上任取一点作，我们把直线和直线的夹角叫作异面直线与的夹角.1lABC2llamlambcoscos,=此时：ababab空间直线由一点和一个方向确定，所以空间直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.lmab，，设直线的方向向量分别为，若两直线的夹角为0,=,2abab1当时，，,=,,2abab2当时，bcoscos-,=cos,=此时：ababababcos=abab练习一：P451112lsls2已知直线的方向向量为=(1,-1,1)，直线的方向向量为=(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值2.平面间的夹角OEFAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角定义：作二面角。以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成二面角的的角叫作平面角.0二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是我们规定二面角大小的范围二面角的度为数，。0,0,2在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角。平面间夹角的范围：0,2uv和和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为，则0,2uv1当时，uvcoscos,=此时：uvuvuv注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角=,uv，,2uv2当时，coscos-,=cos,=此时：uvuvuvuvuv注意法向量的方向：同进同出，两平面的夹角等于法向量夹角的补角=,,uvuv和和设平面的法向量分别为，若两夹角平面的为个，则0,=,2uvuv1当时，，coscos,=此时：uvuvuv,=,,2uvuv2当时，coscos-,=cos,=此时：uvuvuvuv||cos||||uvuv综上：小结：练习二：P452112nn2已知平面的法向量为=(1,2,3)，平面的法向量为=(-1,0,2)，求两个平面夹角的余弦值3.直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角.01如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与此平面的夹角为.22如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与此平面的夹角为.ABC02，ula02ulal设平面的法向量分别为，直线的方向向量为若直线与平面的夹,夹角，角为为，则0,2ua1当时，sinsin,2此时：ua=cos,uauaua=,2ua，ula,2ua2当时，sinsin,2此时：ua=cos,uauaua=,2ua，0,=,22uaua1当时，，sinsin,2此时：ua=cos,uauaua,=,22uaua2当时，，sinsin,2此时：ua=cos,uauauasin综上：uaua小结：02ulal设平面的法向量分别为，直线的方向向量为若直线与平面的夹,夹角，角为为，则练习三：P461-3lsn已知直线的方向向量为=(-1,1,1)，平面的法向量为=(,2,)，求直线与平面夹角的余弦值设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m的夹角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面的夹角为(02≤≤),sinauau；总结两平面与的夹角大小为(02≤≤),cos.uvuv二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv作业：P471，2，3，4，5设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m的夹角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面的夹角为(02≤≤),sinauau；复习两平面与的夹角大小为(02≤≤),cos.uvuv二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv作业讲解正弦值正弦值习题1090,RtABCBCAABC中，现将沿着111ABCABC平面的法向量平移到位置，已知1111111BCCACCABACDF，取、的中点、，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F巩固习题xyz解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：Cxyz11CC(1,0,0),(0,1,0),AB11111(,0,),(,,1)222FaD所以：11(,0,1),2AF111(,,1)22BD11cos,AFBD1111||||AFBDAFBDA1AB1BC1C1D1F11304.105342所以与所成角的余弦值为1BD1AF3010习题2正三棱柱中，D是AC的中点，当时，求的余弦值。111CBAABC11BCAB11DBCCBC平面与平面夹角CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0,,0(aB)0,41,43(aaD),0,0(1bC),,0(1baB解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b,则C(0,0,0)故),21,23(1baaAB),,0(1baBC11,ABBC2211102ABBCab22ba则可设=1，，则B(0,1,0)a22byxzCADBC1B1A1)0,41,43(D)22,0,0(1C)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴可取＝(1,0,0)为面的法向量BCC1∴n)0,43,43(DB)22,41,43(1DC∴在坐标平面yoz中1CCByxzCADBC1B1A1设面的一个法向量为BDC1),,(zyxm由得mDBmDC,113120,442CDmxyz04343yxmDB解得zyx263所以，可取)6,3,3(m∴cos〈〉=nm,22233nmnm1122DBCCBC平面与平面夹角的余弦值为1.已知正方体的边长为2，O为AC和BD的交点，M为的中点（1）求证：直线面MAC（2）求二面角的余弦值1111DCBAABCD1DDOB1CMAB1巩固练习B1A1C1D1DCBAOM