数系的扩充与复数概念

卡尔丹(Cardano,1501～1576)问题：将10分成两个部分，使它们的乘积等于40.该方程无实数解解：设其中一个数是x,则另一个数为10-x.x(10-x)=40化简得:x2-10x+40=0(x-5)2=-15一、课题引入想想：能否扩充实数集使得卡尔丹问题有解？二、数系扩充回顾解下列方程，并思考：到目前为止数集一共经历了哪几次扩充，为什么要扩充，这几次数集扩充有什么共同点？（2）在整数集中方程有解吗?40x（3）在整数集中方程有解吗?320x（4）在有理数集中方程有解吗?（1）在自然数集中方程有解吗?40x320x（5）在有理数集中方程有解吗?220x（6）在实数集中方程有解吗?220x自然数集整数集有理数集实数集二、数系扩充回顾引入分数引入引入负整数无理数+，×，乘方+，×，乘方，减法+，×，乘方，减法，÷+，×，乘方，减法，÷，开方在扩充过程中：①增添了新元素；②原有的一些基本关系和运算法则在新数集里仍能运用；③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．”151051551540515515三、实数集扩充有意义吗？思考：（1）（2）实数集的扩充需要加入哪些元素？1637年，法国数学家笛卡尔把这些数叫做“虚数”(R.Descartes,1596～1661)笛卡尔如等，当时包括卡尔丹在内的数学家都认为这些数是没有意义的、虚无缥缈的15,1,2三、实数集扩充1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次使用符号“i”它满足:称为虚数单位.-12i=欧拉(L.Euler,1707～1783)事实上，这些数最终都归结为-1的平方根三、实数集扩充三、实数集扩充为扩充实数集，我们引入新数i,叫做虚数单位（imaginaryunit），并规定:(1)(2)实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法运算律仍然成立=-12i思考：（1）引入i后你能写出卡尔当要找的数吗？（2）你能写出其他含有i的数吗？（3）你能写出实数集扩充后的数集元素的一般形式吗？1、复数的概念：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,通常用字母z表示.(,)aRbR实部虚部其中称为虚数单位.i2、复数的代数形式：z=a+bi四、复数概念注意：复数实部和虚部都是实数3、复数的分类：b=0z=a+bib0a=0实数（）虚数（≠）（时为纯虚数）4、复数集：全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.四、复数概念思考：复数集与实数集有什么关系？RC总结：中学阶段数系扩充过程实数集有理数集自然数集整数集复数集添加虚数例1.当m为何实数时，复数2=+-2+(-1)2zmmmi(1)实数(2)虚数(3)纯虚数(4)0(5)4+3i是：四、复数概念想想：如何定义两个复数相等？反之,也成立.如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．a,b,c,dR若∈,acbda+bi=c+di,则五、复数相等例2.已知()(2)i(25)(3)ixyxyxxy,xyRx其中,求与．y解：由已知得：253232xyxxxyxyy六、复数性质能否运用类比推理由实数性质得到复数性质？性质实数复数运算类型、法则加、减、乘、除、乘方、开方运算律交换律、分配律比较大小任何两个实数可比较大小几何意义与数轴上的点一一对应函数关系实数集间可建立函数关系七、课堂小结（1）说说这节课的收获：你学到了什么？你印象最深刻的是什么？（2）你还有什么疑惑？你进一步想探究的是什么？八、课外作业1、思考：复数集能否进一步扩充？2、上网搜索复数的发展历史和在科学技术发展中的作用3、习题3.1题3