人教版八年级数学上册第十四章-专题训练-乘法公式的灵活应用

专题训练乘法公式的灵活应用►类型一变形乘法公式巧求式子的值1．阅读：已知a＋b＝－4，ab＝3，求a2＋b2的值．解：∵a＋b＝－4，ab＝3，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(－4)2－2×3＝10.已知a＋b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a2＋b2；(2)(a－b)2；(3)a2－ab＋b2.2．我们知道完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.两式相加得(a＋b)2＋(a－b)2＝2a2＋2b2，即a2＋b2＝12[(a＋b)2＋(a－b)2]；两式相减得(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，即ab＝14[(a＋b)2－(a－b)2]．请利用以上性质完成下列问题：已知(x＋y)2＝6，(x－y)2＝2，试求：(1)x2＋y2的值；(2)xy的值．3．阅读下列解题过程：已知x≠0，且满足x2－3x＝1，求x2＋1x2的值．解：∵x2－3x＝1，∴x2－3x－1＝0.又∵x≠0，∴x－3－1x＝0，即x－1x＝3.∴x2＋1x2＝x－1x2＋2＝32＋2＝11.请根据上述解题思路解答下列问题：若a2－5a－1＝0，且a≠0，求a2＋1a2的值．►类型二巧用乘法公式简便计算4．利用乘法公式简便计算：(1)－992；(2)20192－2018×2020；(3)20817×19917.►类型三巧用乘法公式化简求值5．数学课上老师出了一道题：计算2962的值．喜欢数学的小亮举手回答这道题，他的解题过程如下：2962＝(300－4)2(第一步)＝3002－2×300×(－4)＋42(第二步)＝90000＋2400＋16(第三步)＝92416.(第四步)老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了他解题过程中的错误．(1)你认为小亮的解题过程中，从第几步开始出错？(2)请你写出正确的解题过程．6．2018·江西计算：(a＋1)(a－1)－(a－2)2.7．先化简，再求值：(2a＋b)(2a－b)－(3a－b)2＋6a(a－b)，其中a＝37，b＝1.►类型四逆用乘法公式8．观察下列等式：1×32×5＋4＝72＝(12＋4×1＋2)22×42×6＋4＝142＝(22＋4×2＋2)23×52×7＋4＝232＝(32＋4×3＋2)24×62×8＋4＝342＝(42＋4×4＋2)2…(1)根据你发现的规律，求12×142×16＋4是哪一个正整数的平方；(2)请把n(n＋2)2(n＋4)＋4(n是正整数)写成一个正整数的平方的形式．9．2018·武汉市江汉区校级月考阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0.∴(m－n)2＋(n－4)2＝0.∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0.∴n＝4，m＝4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2＋2xy＋2y2＋2y＋1＝0，求2x＋y的值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，求△ABC的最大边长c的值．►类型五乘法公式与图形面积10．解放街幼儿园有一个游戏场和一个葡萄园，其所占地的形状都是正方形，面积也相同．后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大后的游戏场地仍为正方形，边长比原来增加了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长为x米，请求出扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当x＝12时式子的值．11．如图1①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1.图1详解详析1．解：(1)∵a＋b＝6，ab＝2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝62－2×2＝32.(2)∵a2＋b2＝32，ab＝2，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝32－4＝28.(3)∵a2＋b2＝32，ab＝2，∴a2－ab＋b2＝a2＋b2－ab＝32－2＝30.2．解：(1)x2＋y2＝12[(x＋y)2＋(x－y)2]＝12×(6＋2)＝4.(2)xy＝14[(x＋y)2－(x－y)2]＝14×(6－2)＝1.3．解：∵a2－5a－1＝0且a≠0，∴a－5－1a＝0，即a－1a＝5.∴a2＋1a2＝(a－1a)2＋2＝52＋2＝27.4．解：(1)原式＝－(100－1)2＝－(10000－200＋1)＝－10000＋199＝－9801.(2)原式＝20192－(2019－1)(2019＋1)＝20192－(20192－12)＝20192－20192＋1＝1.(3)20817×19917＝(20＋817)×(20－817)＝202－(817)2＝400－64289＝399225289.5．解：(1)从第二步开始出错．(2)正确的解题过程如下：2962＝(300－4)2＝3002－2×300×4＋42＝90000－2400＋16＝87616.6．解：原式＝a2－12－(a－2)2＝a2－1－(a2－4a＋4)＝a2－1－a2＋4a－4＝4a－5.7．解：原式＝4a2－b2－9a2＋6ab－b2＋6a2－6ab＝a2－2b2.当a＝37，b＝1时，原式＝949－2＝－14049.8．解：(1)由题意，可得12×142×16＋4＝(122＋4×12＋2)2＝1942，所以12×142×16＋4是194的平方．(2)n(n＋2)2(n＋4)＋4＝(n2＋4n＋2)2(n是正整数)．9．解：(1)∵x2＋2xy＋2y2＋2y＋1＝0，∴(x2＋2xy＋y2)＋(y2＋2y＋1)＝0.∴(x＋y)2＋(y＋1)2＝0.∵(x＋y)2≥0，(y＋1)2≥0，∴(x＋y)2＝0，(y＋1)2＝0.∴y＝－1，x＝1.∴2x＋y＝2－1＝1.(2)∵a2＋b2－12a－16b＋100＝0，∴(a2－12a＋36)＋(b2－16b＋64)＝0.∴(a－6)2＋(b－8)2＝0.∵(a－6)2≥0，(b－8)2≥0，∴(a－6)2＝0，(b－8)2＝0.∴a＝6，b＝8.∴8－6＜c＜8＋6，即2＜c＜14.又∵c≥8，c为正整数，∴8≤c＜14，且c为整数．∴△ABC的最大边长c的值可能是8，9，10，11，12，13.10．解：(x＋3)2－(x－2)2＝(x2＋6x＋9)－(x2－4x＋4)＝x2＋6x＋9－x2＋4x－4＝(10x＋5)米2.即扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多(10x＋5)平方米．当x＝12时，原式＝10×12＋5＝125.11．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(3)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝(216－1)＋1＝216.