追及与相遇问题(详解)

第1页共10页追及与相遇问题刘玉平课时安排：3课时三维目标：1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式；2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。教学方法：启发式、讨论式。教学过程两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。一、追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离；b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件；c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。2、分析追及问题的注意点：⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。第2页共10页二、相遇⑴同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。⑵相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。【典型例题】【例1】在十字路口，汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1）汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2）在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为tv汽＝at＝v自t＝10s最远距离x＝x自－x汽＝v自t－21at2＝25m②设汽车追上自行车所用时间为t／此时x自＝x汽v自t／＝21at／2t／＝20s此时距停车线距离x＝v自t／＝100m此时汽车速度v汽＝at／＝10m/s【例2】客车以30m/s的速度行驶,突然发现前方72m处有一自行车正以6m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s2的加速度匀减速前进,问：（1）客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2）若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？（3）若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？1）速度相等时用时t，则30-3t=6m/s解得t=8s，此时自行车行驶6*8=48m，客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m144m,所以会撞上。假设t时刻撞上，则有30*t-1/2*3t2=72+6*t解得t1=4s，t2=12s（舍去）2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。由（1）中得144=48+S，所以至少相差96m【例3】在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。a=-0.5v1=10v2=15当甲车减速为v=10时，两车速度相同。即之后甲车速度小于乙车。设甲车v=10时，辆车正好相遇。t=(v1-v2)/a=10.s甲=v2*t+at^2/2=15*10-0.5*10*10/2=125s乙=v1*t=100L=s甲-s乙=25（m）即当L25时为①两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）当L=25时为②两车只相遇一次当L25时为③两车不相遇【例4】如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.ABSV1V2第3页共10页解:物体B的运动时间为5210aVtAB秒在此时间内B前进了255210BBtVS米这时A前进了2054BAAtVS米可见在此时间内A没有追上B,必须在B停止后,A才能追上B.故A追上B的时间为:84257ABVSSt秒【例5】一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：221atV0t+S0……（1）a=24.024010002240252222200tStV（m/s2）……（2）摩托车追上汽车时的速度：V=at=0.24240=58(m/s)（3）因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。应先匀加速到最大速度再匀速追赶。tVSttVatm0012121……（4）Vm≥at1……（5）由（4）（5）得：t1=40/3（秒）a=40903/40302.25(m/s)【例6】汽车以1m/s2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度V0匀速追赶要车停下．已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：方法一、设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得60m＋1/2aT²－V0T＝20m将a＝1m/s2代入上式并整理得T2－2V0T＋80＝0设为该方程的两个根，由韦达定理有T1＋T2＝2V0①T1·T2＝80②又因为人车相距20m以内的时间至少持续2s，所以有T1－T2＝2③解①②③可得的最小速度为9m/s。当V0＝10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为d＝1/2aT2＋60－V0T＝1/2T2－10T＋60＝1/2(T－10)2＋10∴当T＝10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。第4页共10页点评本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.所以有，vt-1/2at2=40①同时v(t+2）-1/2a(t+2)2=40②②-①得t=v/a+1③将③代入①得最小速度v=9m/s.如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m即1/2at2+60-vot=20此时车速为at，接下来2s内保持20m距离即2＊vo=at＊2+1/2a＊22.解得t=8s.vo=9m/s方法四、根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)=20,解出v就o了方法五、根据判别式等于零来求解。作业：1．一辆值勤的警车停在公路边。当警员发现从他旁边以v=8m／s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2m／s2做匀加速运动，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。v警=at，v货=v0，由v警=v货得at1=v0即相距最远时警车所用的时间为t1===4s此时货车和警车前进的距离分别为x货=v0（t0+t1）=8m／s×（2.5s+4s）=52ms警==×2m／s2×（4s）2=16m两车的最大距离为Δxmax=x货－x警=52m－16m=36m两车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0）追上时两车位移相等x警=x货，即=v0（t+t0）解得追上时所用时间t2=10s。第5页共10页方法2、利用二次函数的知识求解。货车和警车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0），两车的位移之差为Δx=x货－x警=v0（t+t0）－=－t2+8t+20=－（t－4）2+36当t=4s时，Δx有最大值36m，即追上之前相距最大为36m。当t=l0s时，Δx=0，即相遇。2．客车以20m/s的速度行驶,突然发现同轨道前方120处有一货车正以5m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以0.9m/s2的加速度匀减速前进,问：（1）客车是否会撞上货车?若会撞上货车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2）若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时距离货车至少多远？（3）若要保证客车不会撞上货车，客车刹车时的加速度至少多大？3．甲、乙两车在同一条平直公路上行驶，甲车以v1=10m/s的速度做匀速运动，经过车站A时关闭油门以a1=4m/s2的加速度匀减速前进。2s后乙车与甲车同方向以a2=1m/s2的加速度从同一车站A出发，由静止开始做匀加速直线运动。问乙车出发后经多长时间追上甲车？解析：解法一（公式法）：甲、乙两车自同一地点于不同时刻开始运动，乙车出发时甲车具有的速度为100111tavvtm/s42m/s=2m/s，此时离甲车停止运动的时间4211avtts=0.5s。根据题设条件，乙车在0.5s内追不上甲车，也就是说乙车追上甲车时，甲车已经停止了运动。甲车停止时离车站A的距离421022121avx甲m=12.5m，设乙走完这段路程所需的时间为t，由甲乙xtax2221得15.12222axt甲s=5s。故乙车出发后经过5s追上甲车。联想求解本题最易犯的错误是：根据追上的条件乙甲xx，有222010121)(21)(tattattv，代入数据可得t=2.6s。错误的原因在于对汽车等运输工具做减速运动的实际规律理解不深。本题中甲车在被乙车追上前已停止运动。上述计算的实质是认为甲车速度减为0后又反向加速运动，所以计算出与乙车相遇的时间就短了。4．在水平直轨道上有两列火车A和B相距s。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2