定理叙述并证明

数学分析定理叙述及证明定理函数f在点0x可微的充要条件是函数f在点0x可导，而且式子)(xoxAy中的A等于)(0xf.证明必要性若f在点0x可微，由式子)(xoxAy有)1(oAxy.取极限后有AoAxyxfxx))1((limlim)(000.这就证明了f在点0x可导且导数等于A.充分性若f在点0x可导，则f在点0x的有限增量公式)()(0xoxxfy表明函数增量y可表示为x的线性部分))((0xxf与较x高阶的无穷小量之和，所以f在点0x可微，且有xxfdyxx)(|00.定理（归结原则）设f在);(0xU上有定义.)(lim0xfxx存在的充要条件是：对任何含于);(0xU且以0x为极限的数列nx，极限)(limnnxf都存在且相等.证明必要性设Axfxx)(lim0，则对任给的0，存在正数)(，使得当00xx时，有Axf)(.另一方面，设数列);(0xUxn且0limxxnn,则对上述的0，存在0N，使得当Nn时有00xxn，从而有Axfn)(.这就证明了Axfnn)(lim.充分性设对任何数列);(0xUxn且0limxxnn，有Axfnn)(lim，则可用反证法推出Axfxx)(lim0.事实上，倘若当0xx时f不以A为极限，则存在某00，对任何0（不论多么小），总存在一点x，尽管00xx，但有0)(Axf.现依次取,,,,3,2,n则存在相应的点,,,,,,321nxxxx使得,00nxxn而,2,1,)(0nAxfn显然数列);(0xUxn且0limxxnn，但当n时)(nxf不趋于A.这与假设相矛盾，所以必有Axfxx)(lim0.定理（费马定理）设函数f在点0x的某邻域上有定义，且在点0x可导.若点0x为f的极值点，则必有0)(0xf证明设函数f在点0x处取极大值.则0)()(lim)(0000xxxfxfxfxx，0)()(lim)(0000xxxfxfxfxx，则点0x为f的极大值点时0)(0xf得证.同理，0x为f的极小值点时0)(0xf也成立.综上，点0x为f的极值点必有0)(0xf.定理（罗尔中值定理）若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间ba,上连续；（ⅱ）f在开区间ba,上可导；（ⅲ）)()(bfaf，则在ba,上至少存在一点，使得0)(f.证明因为f在ba,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，先分两种情况来讨论：（1）若Mm，则f在ba,上必为常数，从而结论显然成立；（2）若Mm，则因)()(bfaf，使得最大值M与最小值m至少有一个在ba,上的某点处取得，从而是f的极值点.由条件（ⅱ），f在点处可导，故由费马定理推知0)(f.定理（拉格朗日中值定理）若函数f满足如下条件：（ⅰ）f在闭区间ba,上连续；（ⅱ）f在开区间ba,上可导，则在ba,上至少存在一点，使得abafbff)()()(.证明作辅助函数)()()()()()(axabafbfafxfxF.显然，)0)(()(bFaF，且F在ba,上满足罗尔定理的另两个条件：在闭区间ba,上连续；在开区间ba,上可导.故存在),(ba，使0)()()()(abafbffF，移项后即得到式子abafbff)()()(,得证.定理（柯西中值定理）设函数f和g满足（ⅰ）在ba,上都连续；（ⅱ）在ba,上都可导；（ⅲ）)(xf和)(xg不同时为零；（ⅳ）)()(bgag，则存在),(ba，使得)()()()()()(agbgafbfgf.证明作辅助函数))()(()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF.易见F在ba,上满足罗尔定理条件，故存在),(ba，使得0)()()()()()()(gagbgafbffF.因为0)(g（否则由上式)(f也为零），所以变换上式得)()()()()()(agbgafbfgf，得证.