实变函数期末考试卷A卷

１实变函数一、判断题（每题2分，共20分）1.若A是B的真子集，则必有BA。（×）2.必有比a小的基数。（√）3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。（√）4.无限个开集的交必是开集。（×）5.若E，则0*Em。（×）6.任何集nRE都有外测度。（√）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。（×）8.可测集的所有子集都可测。（×）9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×）10.)(xf在E上可积必积分存在。（×）1.设E为点集，EP，则P是E的外点.（×）2.不可数个闭集的交集仍是闭集.（×）3.设nE是一列可测集,且1,1,2,,nnEEn则1()lim().nnnnmEmE（×）4.单调集列一定收敛.（√）5.若()fx在E上可测,则存在F型集,()0FEmEF,()fx在F上连续.（×）得分阅卷人２二、填空题（每空2分，共20分）1.设B是1R中无理数集，则Bc。2.设1,1,,31,21,1RnA，则0A，'A}0{。3.设,2,1,0),11,11(nnnAn，则nnA0)1,1(，nnA1}0{。4.有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集。5.设E是]1,0[上的Cantor集，则mE0。6.设A是闭集，B是开集，则BA\是闭集。7.闭区间],[ba上的有界函数)(xfRimann可积的充要条件是)(xf是],[ba上的几乎处处的连续函数。8.Rimann函数是Rimann可积也是Lebesgue可积的。三、计算题（每题10分，共20分）1.计算dxnxxnnxRn1032221sin1)(lim。（提示：使用Lebesgue控制收敛定理）解：设nxxnnxxfn32221sin1)(),2,1(n，则（1）因)(xfn在]1,0[上连续，所以是可测的；（2）]1,0[,0)(limxxfnn；得分阅卷人３（3）因为xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn2.设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。解：因为有理数集的测度为零，所以2)(xxf..ea于]1,0[，xxf)(..ea于]2,1[。于是]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxfdxxdxx211026112331四、证明题（每题8分，共40分）1.证明：)\()(\11nnnnAAAA４证明：)(\1nnAA(AnnA1c))(1cnnAA=)(1cnnAA)\(1nnAA2.设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。3.证明：若0Em，则E为可测集。证明：对任意点集T，显然成立着)()(cETmETmTm。另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而)()(cETmETmTm。总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。4.可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。５一、填空题（每小题2分，共10分）（D）1、\\\ABCABC成立的充分必要条件是（）A、ABB、BAC、ACD、CA（A）2、设E是闭区间0,1中的无理点集，则（）.A1mE.B0mE.CE是不可测集.DE是闭集（C）3、设E是可测集，A是不可测集，0mE，则EA是（）.A可测集且测度为零.B可测集但测度未必为零.C不可测集.D以上都不对（B）4、设mE，nfx是E上几乎处处有限的可测函数列，fx是E上几乎处处有限的可测函数，则nfx几乎处处收敛于fx是nfx依测度收敛于fx的（）.A必要条件.B充分条件.C充分必要条件.D无关条件（D）5、设fx是E上的可测函数，则（）.Afx是E上的连续函数.Bfx是E上的勒贝格可积函数.Cfx是E上的简单函数.Dfx可表示为一列简单函数的极限设()fx是(,)上的实值连续函数，则对于任意常数a，{|()}Exfxa是一开集，而{|()}Exfxa总是一闭集。６证明：若00,()xEfxa则，因为()fx是连续的，所以存在0，使任意(,)x，0||()xxfxa就有，…………………………(5分)即任意00U(,),,U(,),xxxExEE就有所以是开集…………………………（10分）若,nxE且0(),()nnxxnfxa则，由于()fx连续，0()lim()nnfxfxa，即0xE，因此E是闭集。（1）设2121(0,),(0,),1,2,,nnAAnnn求出集列{}nA的上限集和下限集证明：lim(0,)nnA………………………………………………………………………（5分）设(0,)x，则存在N，使xN，因此nN时，0xn，即2nxA，所以x属于下标比N大的一切偶指标集，从而x属于无限多nA，得limnnxA，又显然lim(0,),lim(0,)nnnnAA所以…………………………………………………（7分）limnnA…………………………………………………………………………………（12分）若有limnnxA，则存在N，使任意nN，有nxA，因此若21nN时，７211,0,00nxAxnxn即令得，此不可能，所以limnnA………………（15分）（2）可数点集的外测度为零。证明：证明：设{|1,2,}iExi对任意0，存在开区间iI，使iixI，且||2iiI（8分）所以1iiIE，且1||iiI，由的任意性得*0mE………………………………（15