实变函数期末复习资料试卷

（第1页，共24页）安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期《实变函数》试卷一《实变函数》试卷一《实变函数》试卷一《实变函数》试卷一专业_________班级________姓名学号注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A）1limnknnknAA∞∞→∞===∪∩;（B）1limnknknnAA∞∞==→∞=∩∪;（C）1limnknnknAA∞∞→∞===∩∪;（D）1limnknknnAA∞∞==→∞=∩∩;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）（A）=Pc(B)0mP=(C)PP='(D)PP=�3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设{}()nfx是E上的..ae有限的可测函数列,则下面不成立的是()题号一二三四五总分得分得分考生答题不得超此线（第2页，共24页）（A）若()()nfxfx⇒,则()()nfxfx→(B){}sup()nnfx是可测函数（C）{}inf()nnfx是可测函数;（D）若()()nfxfx⇒,则()fx可测5、设f(x)是],[ba上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A))(xf在],[ba上有界(B))(xf在],[ba上几乎处处存在导数（C）)('xf在],[ba上L可积(D)∫−=baafbfdxxf)()()('二.填空题(3分×5=15分)1、()(())ssCACBAAB∪∩−−=_________2、设E是[]0,1上有理点全体，则'E=______,oE=______,E=______.3、设E是nR中点集，如果对任一点集T都有_________________________________，则称E是L可测的4、)(xf可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()fx为[],ab上的有限函数，如果对于[],ab的一切分划，使_____________________________________________________,则称()fx为[],ab上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1ER⊂，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若0=mE，则E一定是可数集.得分得分（第3页，共24页）3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数。4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx∀∈，则()0Efx∫四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()1,xxfxx⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则()fx在[]0,1上是否R−可积，是否L−可积，若可积，求出积分值。得分（第4页，共24页）2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn∞−+∫五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c.得分考生答题不得超过此线（第5页，共24页）2、（6分）设()fx是(),−∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}aExfxa=≥是闭集。3、（6分）在[],ab上的任一有界变差函数()fx都可以表示为两个增函数之差。4、（6分）设,()mEfx∞在E上可积，(||)neEfn=≥，则lim0nnnme⋅=.（第6页，共24页）5、（10分）设()fx是E上..ae有限的函数，若对任意0δ，存在闭子集FEδ⊂，使()fx在Fδ上连续，且()mEFδδ−，证明：()fx是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)得分阅卷人复查人（第7页，共24页）安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期《实变函数》试卷二《实变函数》试卷二《实变函数》试卷二《实变函数》试卷二专业________班级_______姓名学号注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一.单项选择题（3分×5=15分）1．设,MN是两集合，则()MMN−−=（）(A)M(B)N(C)MN∩(D)∅2.下列说法不正确的是()(A)0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点(B)0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点(C)存在E中点列{}nP，使0nPP→，则0P是E的聚点(D)内点必是聚点3.下列断言()是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4.下列断言中()是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；题号一二三四五总分得分得分考生答题不得超此线（第8页，共24页）5.若()fx是可测函数，则下列断言（）是正确的(A)()fx在[],abL−可积|()|fx⇔在[],abL−可积；(B)[][](),|()|,fxabRfxabR−⇔−在可积在可积(C)[][](),|()|,fxabLfxabR−⇔−在可积在可积;(D)()()(),()fxaRfxL+∞−⇒∞−在广义可积在a,+可积二.填空题(3分×5=15分)1、设11[,2],1,2,nAnnn=−=⋯，则=∞→nnAlim_________。2、设P为Cantor集，则=P，mP=_____，oP=________。3、设{}iS是一列可测集，则11______iiiimSmS∞∞==⎛⎞∪⎜⎟⎝⎠∑4、鲁津定理：_____________________________________________________________________________________________________________________5、设()Fx为[],ab上的有限函数，如果______________________________________________________________________________________________________________________________则称()Fx为[],ab上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)1、由于[](){}0,10,10,1−=，故不存在使()[]0,101和，之间11−对应的映射。得分得分阅卷人复查人得分（第9页，共24页）2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、..ae收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题(8分×2=16分)得分（第10页，共24页）1、设,()1,xxfxx⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则()fx在[]0,1上是否R−可积，是否L−可积，若可积，求出积分值。2、求极限13220limsin1nnxnxdxnx→∞+∫.五.证明题(6分×3+82×=34分)1.(6分)1、设f(x)是),(+∞−∞上的实值连续函数，则对任意常数c，})(|{cxfxE=是一开集.得分（第11页，共24页）2.(6分)设0,,GEε∃⊃开集使*()mGEε−，则E是可测集。3.（6分）在[],ab上的任一有界变差函数()fx都可以表示为两个增函数之差。4.（8分）设函数列()nfx(1,2,)n=⋯在有界集E上“基本上”一致收敛于()fx，证明：()..nfxae收敛于()fx。（第12页，共24页）5.（8分）设()fx在[],Eab=上可积，则对任何0ε，必存在E上的连续函数()xϕ，使|()()|bafxxdxϕε−∫.得分阅卷人复查人（第13页，共24页）安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期《实变函数》试卷三《实变函数》试卷三《实变函数》试卷三《实变函数》试卷三专业_________班级________姓名学号注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一、单项选择题（3分×5=15分）1、设1[,2(1)],1,2,nnAnn=+−=⋯，则（）(A)lim[0,1]nnA→∞=（B）=∞→nnAlim(0,1](C)lim(0,3]nnA→∞=（D）lim(0,3)nnA→∞=2、设E是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（）（A）'[0,1]E=(B)oE=∅(C)E=[0，1](D)1mE=3、下列说法不正确的是（）(A)若BA⊂，则BmAm**≤（B）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集(C)可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测4、设}{nE是一列可测集，⋯⋯⊃⊃⊃⊃nEEE21，且+∞1mE，则有（）（A）nnnnmEEm∞→∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛∩lim1(B)nnnnmEEm∞→∞=≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛∪lim1题号一二三四五总分得分得分考生答题不得超此线考生答题不得超此线（第14页，共24页）（C）nnnnmEEm∞→∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∩lim1;（D）以上都不对5、设f(x)是],[ba上绝对连续函数，则下面不成立的是（）(A))(xf在],[ba上的一致连续函数(B))(xf在],[ba上处处可导（C）)(xf在],[ba上L可积(D))(xf是有界变差函数二.填空题(3分×5=15分)1、设集合NM⊂，则()MMN−−=_________2、设P为Cantor集，则=P，mP=_____，oP=________。3、设E是nR中点集，如果对任一点集T都有_________________________________，则称E是L可测的4、叶果洛夫定理：_________________________________________________________5、设)(xf在E上可测，则)(xf在E上可积的条件是|)(xf|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、任意多个开集之交集仍为开集。2、若0=mE，则E一定是可数集.3、..ae收敛的函数列必依测度收敛。得分得分（第15页，共24页）4、连续函数一定是有界变差函数。四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()0,xxfxx⎧=⎨⎩为无理数为有理数，则()fx在[]0,1上是否R−可积，是否L−可积，若可积，求出积分值。得分（第16页，共24页）2、求极限1213220limsin1nnxnxdxnx→∞+∫五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）试证(0,1)~[0,1]2、（6分）设()fx是),(+∞−∞上的实值连续函数，则对任意常数c，})(|{cxfxE=是一开集.得分（第17页，共24页）3、（6分）设()fx是可测集E的非负可积函数，()gx是E的可测函数，且|()|()gxfx≤，则()gx也是E上的可积函数。4、（6分）设()fx在E上积分确定，且()().fxgxae=于E，则()gx在E上也积分确定，且()()EEfxdxgxdx=∫∫（第18页，共24页）5、（10分）设在E上)()(xfxfn⇒,而..)()(eaxgxfnn=成立,⋯,2,1=n,则有)()(xfxgn⇒得分阅卷人复查人（第19页，共24页）安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院安庆师范学院第第第第学年度第学年度第学年度第学年度第学期学期学期学期《实变函数》试卷四《实变函数》试卷四《实变函数》试卷四《实变函数》试卷四专业________班级_______姓名学号注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时