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(8)抽屉原则【知识精读】1,4个苹果放进3个抽屉,有一种必然的结果:至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个(即等于或多于2个);如果7个苹果放进3个抽屉,那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个(即的等于或多于3个),这就是抽屉原则的例子。2,如果用表示不小于的最小整数,例如=3,。那么抽屉原则可nmnm37236定义为:m个元素分成n个集合(m、n为正整数mn),则至少有一个集合里元素不少于个。 nm3,根据的定义,己知m、n可求;nmnm己知,则可求的范围,例如己知=3,那么2<≤3;己知=2,nmnmnmnm3x则1<≤2,即3<x≤6,x有最小整数值4。3x【分类解析】例1某校有学生2000人,问至少有几个学生生日是同一天?分析:我们把2000名学生看作是苹果,一年365天(闰年366天)看作是抽屉,即把m(2000)个元素,分成n(366)个集合,至少有一个集合的元素不少于个nm解:∵5 ∴=63662000366173662000 答:至少有6名学生的生日是同一天例2从1到10这十个自然数中,任意取出6个数,其中至少有两个是倍数关系,试说明这是为什么。解:我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里,则可分为5个集合,它们是:{1,2,4,8,},{3,6,},{5,10},{7},{9}。 ∵要在5个集合里取出6个数,∴至少有两个是在同一集合,而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。(本题的关键是划分集合,想一想为什么9不能放在3和6的集合里)。例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球,要求至少有3个颜色相同,那么至少应取出几个才有保证。分析:我们可把4种球看成4个抽屉(4个集合),至少有3个球同颜色,看成是至少有一个抽屉不少于3个(有一个集合元素不少于3个)。解:设至少应取出x个,用{}表示不小于的最小整数,那么4x4x{}=3, ∴2<≤3, 即8<x≤12, 最小整数值是9。4x4x答:至少要取出9个球,才能确保有三个同颜色。例4等边三角形边长为2,在这三角形内部放入5个点,至少有2个点它们的距离小于1,试说明理由。解:取等边三角形各边中点,并連成四个小三角形(如图)它们边长等于1, ∵5个点放入4个三角形, ∴至少有2个点放在同一个三角形内, 而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。实战模拟】1,初一年新生从全县17个乡镇招收50名,则至少有_人来自同一个乡镇。2,任取30个正整数分别除以7,那么它们的余数至少有__个是相同的。3,在2003m中,指数m任意取10个正整数,那么这10个幂的个位数中相同的至少于__个.4,暗室里放有四种不同规格的祙子各30只,为确保取出的祙子至少有1双(2只同规格为1双)那么至少要取几只?若要确保10双呢?5,袋子里有黑、白球各一个,红、蓝、黄球各6个,请你拿出一些球,要确保至少有4个同颜色,那么最少要取几个?6,任意取11个正整数,至少有两个它们的差能被10整除,这是为什么?7,右图有3行9列的方格,若用红、蓝两种颜色涂上,则至少有2列的涂色方式是一样的,试说明这是为什么。8,任意取3个正整数,其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。9,90粒糖果分给13个小孩,每人至少分1粒,不管怎样分,总有两人分得同样多,这是为什么?10,11个互不相同的正整数,它们都小于20,那么一定有两个是互质数。 (最大公约数是1的两个正整数叫互质数)11,任意6个人中,或者有3个人他们之间都互相认识,或者有3个人他们之间都互不相识,两者必居其一,这是为什么? 练习8 1. 3 2. 5 3. 3 4. 5只,23只 5. 126.∵正整数的个位数字只有0,1,2,…9共10个,……7.设1表示红色,2代表蓝色,每列3格用2种涂色,最多只有如下8种涂法,第9列必与前8种中的一种相同1111222211222211121221218.把正整数按奇数,偶数分为两个集合,3个正整数放入两个集合,必有一个集合中,有2个是同奇数或同偶数,……9.如果我们给13人分配都不相同的粒数,∵1+2+…+13=91,而实际糖果只有90粒,∴必有1人要少分1粒,因而他一定与其余12人中的1个相同10.用A,B,C,D,E,F表示6个人。A与其他5个人的关系――相识或不相识两种,必有一种不少于3人,不妨设A与B,C,D3人都相识,这时,只B,C,D3人中有2人相识,则本题的结论就成立。若B,C,D3人都互不相识,那么结论也成立。所以……
本文标题:(8)抽屉原则
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