定积分习题课04047

2问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba一、主要内容31、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）iniixfA)(lim10曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.4实例2（求变速直线运动的路程）iniitvs)(lim10设某物体作直线运动，已知速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，且0)(tv，求物体在这段时间内所经过的路程S.方法:分割、近似、求和、取极限.52、定积分的定义设函数)(xf在],[ba上有界，在],[ba中任意若干若干个分点bxxxxxann1210把区间],[ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1iiixxx，),2,1(i，在各小区间上任取一点i（iix），定义],,[],,[],,[12110nnxxxxxx6怎样的分法，baIdxxf)(iinixf)(lim10.也不论在小区间],[1iixx上的取法，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，在区间],[ba上的定积分，记为记},,,max{21nxxx，如果不论对],[ba我们称这个极限I为函数)(xf作乘积iixf)(),2,1(i点i怎样并作和iinixfS)(1，7可积的两个充分条件：当函数)(xf在区间],[ba上连续时，定理1定理2设函数)(xf在区间],[ba上有界，称)(xf在区间],[ba上可积.且只有有限个间断点，则)(xf在区间],[ba上可积.3、存在定理84、定积分的性质badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数)性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(假设bca性质39则0)(dxxfba)(ba性质5如果在区间],[ba上0)(xf，推论：则dxxfba)(dxxgba)()(ba如果在区间],[ba上)()(xgxf，（1）dxxfba)(dxxfba)()(ba（2）dxba1dxbaab性质410如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使dxxfba)())((abf)(ba性质7(定积分中值定理)设M及m分别是函数则)()()(abMdxxfabmba.)(xf在区间],[ba性质6上的最大值及最小值，积分中值公式115、牛顿—莱布尼茨公式如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(在],[ba上具有导数，且它的导数是)()()(xfdttfdxdxxa)(bxa定理1定理2（原函数存在定理）如果)(xf在],[ba上连续，则积分上限的函数dttfxxa)()(就是)(xf在],[ba上的一个原函数.12定理3（微积分基本公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数，则)()()(aFbFdxxfba.)]([)(babaxFdxxf也可写成牛顿—莱布尼茨公式.],[],[:上的增量它的任一原函数在区间上的定积分等于一个连续函数在区间表明baba136、定积分的计算法dtttfdxxfba)()]([)(换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式bababavduuvudv][14７、广义积分(1)无穷限的广义积分adxxf)(babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.bdxxf)(baadxxf)(lim15(2)无界函数的广义积分badxxf)(badxxf)(lim0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.badxxf)(badxxf)(lim0badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(lim0bcdxxf)(lim016二、与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题17三、有关定积分计算和证明的方法1.熟练运用定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考:下列作法是否正确?18四、典型例题(1)例1.求.d1lim10xeexxxnn例2.求nnnnnnnnIn1sin212sin1sinlim例3.估计下列积分值例4.证明.2d222042exeexx例5.设在上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式明对于任何100d)(d)(xxfqxxfq19例1.求.d1lim10xeexxxnn解:因为时,xxneex10所以xeexxxnd1100xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10xeexxxnn,nx20因为依赖于且1)思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理,原式不对!,n.10说明:2)此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项.px11ppxx11)10(x1px1如,P265题421解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：nkknnk11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(考研98)11limnnn例2.求22思考:提示:由上题1sinlimnnIJn11)1(sinnnnn11)1(sinlimnnnnn2200故23练习:1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242.求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示：原式nn1limnini121limnnnnini12xxd21011limnnnini12左边=右边24例3.估计下列积分值解:因为41,412x∴xd2110xxd41102即21625例4.证明证:令则令得故.2d222042exeexx26例5.设在上是单调递减的连续函数，试证1,0q都有不等式证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理))(1fq)()1(2fq10q当时,故所给不等式成立.明:对于任何100d)(d)(xxfqxxfq027四、典型例题(2)例6.2sin120dxx求例7.cossinsin20dxxxx求例8.12ln02dxex求例9.2sinln40xdx求例10.])1(ln1sin[212128dxxxx求例11.选择一个常数c,使例12.},1min{222dxxx求例13.)()1(,)(102022dxxfxdyexfxyy求设0d)(cos)(99xcxcxba28例6解.2sin120dxx求20cossindxxx原式2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx.2222yox4xsinxcos29例7解.cossinsin20dxxxx求,cossinsin20dxxxxI由,cossincos20dxxxxJ设,220dxJI则20cossincossindxxxxxJI20cossin)sin(cosxxxxd.0,22I故得.4I即30例8解.12ln02dxex求,sintex令.sincos,sinlndtttdxtx则62)sincos(cosdtttt原式262sincosdtttxt02ln262626sinsintdttdt.23)32ln(31例9解.2sinln40xdx求,2tx令.sinln212sinln2040tdtxdxI402sinlnxdxI40)cossin2ln(dxxx40)coslnsinln2(lndxxx2440sinlnsinln2ln4xdxxdx20sinln2ln4xdxI22ln4.2ln4Iux2令32例10122182sin[ln(1)].1xxdxx求解dxx2121)1ln(0原式dxxdxx210021)1ln()1ln(.21ln23ln2333tttcbcadcos99例11.选择一个常数c,使解:令,cxt则因为被积函数为奇函数,故选择c使)(cbca即2bac可使原式为0.34例12.},1min{222dxxx求解1,11,},1min{22xxxxxx是偶函数,dxxx},1min{2220原式21102122dxxdxx.2ln23235例13.设解:xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(31102322101)1(2)1d()1(612xexx))1((2xu令10d6ueueu01)1(6ueue)2(61e36四、典型例题(3)例14例15.cos1)(sin2cos1)(sin:,],0[)(0202dxxxfdxxxxfxf证明上连续在设例16.)()()(.0)(],[)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba证明上连续，且在区间设.123)2(;94)1(:2122xxxdxxxdx求下列广义积分37例14.cos1)(sin2cos1)(sin:,],0[)(0202dxxxfdxxxxfxf证明上连续在设证,tx令)(cos1)(sin)(02dtttft左边,dtdxdxxxfx02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf0202cos1)(sincos1)(sin.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf38例15.)()()(.0)(],[)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba证明上连续，且在区间设证作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxFxaxa)(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttfxfxFxaxa,2)()()()(xaxaxadtdtxftfdttfxf390)2)()()()(()(dtxftftfxfxFxa即2)()()()(xftftfxf,0)(xf.)(单调增加xF,0)(aF又,0)()(aFbF.)()()(2abxfdxdxxfbaba即40例16.123)2(;94)1(:2122xxxdxxxdx求下列广义积分解(1)02029494xxdxx