最全面最经典的MBA排列组合

中国MBA升学率最高的黄埔军校嘉禾博研教育咨询电话：400-6161-5981排列组合解题方法小结主编周远飞（适用于备考MBA、MPA、MPAcc、MEM、MTA、GMAT数学的考生）根据近几年MBA联考的特点，排列组合的考试无外乎相对比较难的就是如下14种题型，现在总结出来供大家参考复习！至于其他没有涉及的，我会在课堂上一一讲课，并且所有的排列组合题型都有固定的解题模板和公式，希望大家在学习的过程中注意跟上我的步骤，然后在理解的基础之上去掌握快速解题的技巧。一、常规问题逐分法二、可重排列求幂法三、特殊元素优先法四、交叉问题集合法五、相邻问题捆绑法六、相离问题插空法七、全员分配组配法八、同元分配隔板法九、定序均分用除法十、部合条件排除法十一、标号排位分步法十二、圆排多排单排法十三、对应等价转化法十四、多元问题分类法【题型分布讲解】一.常规问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步分组法.1.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是21110872520CCC种.解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520CCC种.2.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有4441284CCC种.3.公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？解析：将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。4.公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？解析：将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则④变成了③，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。二.可重排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有nm种方法.（这个上课会讲一种快速口算方法）1.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.2.5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？解析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将5名运动员看作五个信箱，3项冠军看成3封信，每封信可以中国MBA升学率最高的黄埔军校嘉禾博研教育咨询电话：400-6161-5982投进五个信箱，有5种投递方法。由乘法原理知有53种.三.特殊元素优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解析1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：＝480（种）.解析2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）.2.从6个运动员中选出4个参加4×100米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？解析：C41A53=240种.3.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解析：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48.从而应填48．四.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()nABnAnBnAB.1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()nInAnBnAB43326554252AAAA种.2.安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是78.(用数字作答).解析：A55-A44-A44+A33=78五.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.1.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果,AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有4424A种.解析：把,AB视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种2.有Nnn件不同的产品排成一排，若其中A、B两件不同的产品排在一起的排法有48种，则n？解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大元素，与其他元素一起进行了全排列，然后瑞对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”方法。将A、B两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有11nnA种排法；对于上述的每种排法，A、B两件产品之间又有22A种排法，由分步计数原理得满足条件的不同排法有2211AAnn=48种，故5n3.3个女生与5个男生排在一起，女生必须在一起，可以有多少种不同的方法？解析：因为3个女生必须排在一起，所以可以把她们看作一个整体，连同5个男生共6个元素，排成一排有A66种不同的排法，同时每种排法中，女生之间又有A33种不同的排法，利用分步记数原理，可得有A66A33种不同的排法。六.相离问题插空法:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述中国MBA升学率最高的黄埔军校嘉禾博研教育咨询电话：400-6161-5983几个元素的空位和两端.1.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是52563600AA种.解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A种，再用甲乙去插6个空位有26A种，不同的排法种数是52563600AA种.2.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）(A)234(B)346(C)350(D)363解析：对于前排中某个元素互不不相邻的排列问题，可先将其它元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的插空法。将前排中间的5号、6号、7号座位和待安排2人的取出，再将剩下的18座位排成一列，然后妆待安排2人的座位插入这18座位之间及两端的空隙中，使这2人的座位互不相邻，有219A种方法；但在前排的4号与8号座位、前排的11号与后排的1号座位之间可以同时插入待安排2人的座位满足条件，有222A种方法。由分类计数原理得到不同排法的种数有3464342222219AA（种），选（B）3.7人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？解析：先将其余4人站好，有A44种排法，再于4人之间及两端5个“空隙”中选3个位置将甲、乙、丙插入，有A53种方法。由分步记数原理，这样共有A44A53种不同的排法。七.全员分配组配法:1.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？解析：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种），因此共有36种方案.2.5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为240种.3.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有24C种，再排：在四个盒中每次排3个有34A种，故共有2344144CA种.4.9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各2名，有2254CC种，这四名运动员混和双打练习有22A中排法，故共有222542120CCA种.5.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解析：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有14C种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有3316CC种，前4次测试中的顺序有44A种，由分步计数原理即得：14C（3316CC）44A＝576。6.3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级，若每人教2个班，有多少种分配方法？22264290CCC7.将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？3331107414!3!CCCC8.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有()A.16种中国MBA升学率最高的黄埔军校嘉禾博研教育咨询电话：400-6161-5984B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有123436CA，二是在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有3424A，共有1234CA34A=60，故选（D）.八.同元分配隔板法:1.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C种.2.6名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解析：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）.3.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)解析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x，y，z之值（如图）○○○○○○○○○○则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为2936C个.4.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。解析：注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为212C=66个。5.将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。解析：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有313C=286种方法。九.定序均分缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.1.,,,,ABCDE五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,AB可以不相邻）那么不同的排法种数是551602A种.解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A种.2.由数字0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）个（A）210（Ｂ）300（C）464（D）600解析：对于部分元