固体物理第三章1

本章主要讨论晶格的动力学晶体中离子实或原子围绕其平衡位置的振动振动对固体性质的影响。晶格振动决定了晶体的宏观热学性质，晶格振动理论也是研究研究晶体的电学性质、光学性质、超导等的重要理论基础。晶格动力学理论又叫晶格谐振理论，1912年由玻恩和卡门建立，其基本假设：假设晶体中每个原子的中心平衡位置在对应的晶格格点上；这个原子离开平衡位置的位移与原子间距比是小量，可以用谐振近似，也就是说原子间的弹性势能可以表达成位移的二次项。本章主要内容用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率；用格波来描写晶格原子的集体运动；用量子理论来表述格波相应的能量量子；在此基础上处理固体的热学性质。第三章晶格振动和晶体热学性质§3.1一维晶格的振动晶格振动的根本原因:原子间存在着相互作用力。对于一对原子而言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。一维单原子链的振动是简单可解的问题，又能体现晶格振动的基本特点。把一些主要方法和结论推广到三维情况。一、一维简单晶格为了简单起见，采用简谐近似:即原子间相互作用力类似于弹性力，正比于原子间距离对平衡距离的偏差，原子振动犹如弹簧振子。设两原子间的互作用势为U（r）,这两原子间的互作用力为：一般条件下，原子作微小振动，Un＜＜a，为了取近似，将U（r）在平衡位置a附近展成泰勒级数：drdUfa一维原子键振动333222)(61)(21)()()(ardrUdardrUdardrdUaUrUaaa当（r-a）很小，即振动很微弱时，展开式只保留到（r-a）2项，则原子间距离变化为（r-a）时,互作用力为：()0adUradr()UaC为常数)()(ardrUdrfa22得到一对原子间距离变化为（r-a）时受到的弹性力为：1()()()nnfrraorfuu令adrUd22β称为弹性恢复力系数。考察第n个原子受到的力：只考虑最近邻原子间的作用力，则第n个原子受到的力为：)2uuβ(u)uβ(u)uβ(un1n1n1nnn1n第n个原子的牛顿运动方程为：)1(N)1,2,(n)2uuβ(udtudmn1n1n2n22nu1nunu1nu2nu一维原子键振动通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：)(tqnainAeuq为波矢，qna是序号为n的原子在t=0时刻的振动位相。)()()()(nniqannnqatqnaitanqineuAeAeul为整数，则nnuu若两原子的位相因子之差：,lqann2序号为n’的原子的位移：即两原子因振动而产生的位移相同nnuu即该两原子有相反的位移。时而当)12(lqann表明，在任一时刻，原子的位移有一定的周期分布。原子的位移构成了波，这种波称为格波。格波：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动，不同原子间有振动相位差，这种振动以波的形式在整个晶体中传播，称为格波。将简谐波形式的试解代入运动学方程)(nnnnuuudtudm21122))(cos()(1222qaueeuumniqaiqann)cos(122qam)(sin222qam)(sin222qam对应相同的角频率，i为整数aqa考虑振动波函数单值的要求，波矢q可限制在如下范围（简约布里渊区）：'2qqqia注意到说明格波的频率ω在波矢空间内是以倒格矢2π/a为周期的周期函数。波矢q与波矢q’的格波等价。这也正是晶格排列周期性的结果。上式中指标n已被消去，这意味着所有原子的运动方程都导出同样的频率－波矢关系（称为色散关系）。表明试解代表一种简正模型（即一个ω和一个q值）的格波。)(sin222qam格波：()itnaqAe连续介质弹性波：()itxqAe从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这是一系列周期排列的点。一个格波解表示所有原子同时作频率为的振动，不同原子有不同的振动位相，相邻两原子的振动位相差为aq。若aq改变的整数倍，这两个格波所描述的所有原子的振动状态完全相同。2aqaq25221格波的波速sin22qaqa(1)在长波区域，波矢02q002)(,qq色散关系的格波称为声频支格波。1212()2sin2qaqmaqm12vqvam格波的波速在长波区域，波矢02q12vqvam波速是常数1nn1nuuu某一原子周围若干原子都以相同的振幅和位相振动。格波的波速(2)波矢aπq对应格波的截止频率21maxmβ2ω1nn1nuuu相邻原子以相同的振幅作相对振动。周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：实际情况：N个原子构成的一维晶体，边界上原子受力的情况有别于体内原子。11Nuu设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。近似考虑：N非常大，边界上原子数目极少，在考虑晶体大块性质时将边界上原子视如体内原子不至于带来误差。玻恩－卡门边界条件：德国理论物理学家，量子力学的奠基人之一玻恩，M.(MaxBorn1882～1970).1954年荣获诺贝尔物理学奖周期性边界条件（玻恩－卡门边界条件）：NnnuutanNqitqnaiAeAe)(上式表明，周期性边界条件限制了晶格振动。即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。lNaqlqNa221iqNaeiqNaωtqnaieAeaqa因为q的取值范围限制在第一布里渊区，即aπlNa2πaπ2Nl2NNaLq只能取相隔的分立值L2允许的波矢数目等于N；振动谱是分离谱；晶格振动波矢的数目＝晶格原胞数NaNaLa2222第一布里渊区内的波矢代表点数目为在波矢空间中，每一个可能的q所占据的线度为L22L波矢代表点的密度即为（单位长度波矢代表点数目）二、一维复式格子晶格由质量分别为m和M的两种不同原子构成的一维复式格子，晶格常数＝2a（相邻同种原子间的距离）。)()()()(1212112222212212222121222nnnnnnnnnnuuuudtudMuuuudtudm当原子产生位移时，平衡位置在2n与第(2n+1)个原子的运动方程：假设：分子内和分子间距离相等，分子内原子和分子间原子的相互作用力相同，即β1＝β2＝β2a)()()(12212222212221212222nnnnnnnnuuudtudMuuudtudm试解：)()()(2121222tanqintnaqinBeuAeuA与B分别表示质量为m与M的原子的振幅。将试解代入运动方程可得：)3(0)2(cos20cos2)2(22BMqaAqaBAm这是振幅A与B的线性齐次方程，A与B不能同时为零，要求)4(02cos2cos2222Mqaqam由此可得(5)2mMcos2qaMmMmmMβω21222一维双原子复式格子具有两支色散关系同样，对于一维复式格子，q值限制在2aπq2aπ以保证un的单值性。如图所示。(6)2mMcos2qaMmMmmMβω2mMcos2qaMmMmmMβω21222A21222o声学波和光学波)(max822MA在布里渊区的边界±π/2a处达到最大值在布里渊区的边界±π/2a处达到最小值)(min722mO由mM可见，在两支色散关系间存在一频隙。)(max922mMMmOω＋O在布里渊区中心，即倒空间原点达到其最大值：讨论：（1）光学波与声学波)(102222aqMmA即qqaMmAA2称频率较高的一支ω＋O的格波为光学波因为光学格波的频率处于光波频率范围，大约处于远红外波段，离子晶体能吸收红外光产生光学格波共振，这是光谱学中的一个重要效应。称频率较低的一支ω＿A的格波为声学波。当q→0时，ω-A有近似于线性的色散关系而波速为)(112aMmdqdvA为一常数。频率与波矢成正比，波速为常数是弹性波的特点.（2）相邻两种不同原子的振幅比)()cos(120222AAmqaBA)(MmMA22这是因为而0)cos(qa这有两种情况：对于声学波由（3）式)3(0)2(cos20cos2)2(22BMqaAqaBAm这说明，相邻两种不同原子的振幅有相同的正号或负号，即对于声学波：相邻原子都是沿着同一方向振动的。0ABA当在长波极限，即波矢q接近于布里渊区中心附近，q→0时，ω＿A→0，有1222AAmqaBA)cos(说明长波限原胞内两个原子振幅相同相邻原子振动的位相差qa→0对于光学波)()cos(130222qaMBAOO因为)(MmmO22而0)cos(qa表明波长相当长时，声学波实际上代表原胞质心的振动。相邻两种原子振幅之比，由（3）得到这表明，对于光学波，相邻两种不同原子的振动方向是相反的mMMmO22max可得mMBAO对于长光学波：,0MBmA即原胞的质心保持不动。长波光学波描述原胞是原子间的相对运动。当q→0时，cos(qa)≈1，又（3）短波限格波的特点以上讨论两频率分支的区别对于短波限，即波矢在布里渊区边界q=±π/2a处并不明显。对于声学波ω＝ω-A，有质量为m的原子静止，质量为M的原子振动。0222AAmqaBA)cos(对于光学波ω＝ω＋O，有质量为M的原子静止，而质量为m的原子振动。两者都对应只有一种原子振动的情形。0222OOOABqaMBA)cos((4)用周期性边界条件确定波矢波恩－卡门周期性边界条件对一维复式格子，有类似的结果：1euui2qNa1n)2(N12n222222NlNaqalNaqlqNa;,同一维单原子晶格一样，在第一布里渊区q可有N个不同的取值。)()()(2121222tanqintnaqinBeuAeu注意：这里每个q对应两个不同ω＋O，ω＿A。所以晶体中共有2N个独立的振动模式。一维双原子晶格中，每个原胞有两个原子，每个原子有一个自由度。因此，晶体的自由度数为2N。得出结论：晶格振动的波矢q的数目＝晶体的原胞数。晶格独立振动模式（振动频率）数目＝晶体自由度数对于晶格振动波，最重要的结果是两个：一是分析出具有N个原胞的晶体中的多少个晶格振动的模式（或者说有多少种基本波动解）－－对应声子的种类。二是计算出振动波的色散关系，即波动频率－波数的关系。－－对应声子的能量－动量关系。本节结束