库埃特流动和泊肃叶流动

粘性流体力学ViscousFluidMechanics库埃特流动与泊肃叶流动TheCouetteFlow&PoiseuilleFlow李蒙潘海伟姚粟平行流动简介1BriefIntroductionofParallelFlow平行流动简介平行流动(ParallelFlow)是流动中最简单的一种情形。在平行流动中只有一个流速分量是不等于零的量，所有流体质点均沿一个方向。设三个坐标方向的分速度为u,v,w。平行流动中v=0,w=0。由连续性方程可知，也就是说流速分量u在x方向并不变化。0zwyvxu0xu（1）平行流动简介N-S方程在y,z两个坐标方向的分量方程：由于v=0，w=0，得出，，因此流体动压强p只是x的函数。N-S方程在x方向的分量方程：0yp0zp平行流动简介其中三个迁移项均为零，故：（2）为u的线性二阶微分方程。库埃特流动2TheCouetteFlow库埃特流动平行流动中最简单的例子如下图所示的由上到下槽道内充满了粘度为μ的不可压缩流体的恒定流动。上平板以速度U相对于下平板运动。由于流体具有粘性，运动平板将带动槽中流体流动。两平板间距离为h。库埃特流动设槽道中同时存在x方向压力梯度。流动为恒定，。且流动为二维，在z方向没有变化。这种流动称为库埃特流动(CouetteFlow)xpdd0tu库埃特流动上述条件下，则式：（2）可写为：边界条件：（4）22ddddyuxp（3）库埃特流动（3）式（3）为x方向的N-S方程，它说明只能是y的函数而与x无关。而由y方向的N-S方程可见压强只能是x的函数，只能与x有关而与y无关。为同时满足这两方面要求，则。积分式（3）得：xpdd0ypxpddCONSTddxp库埃特流动带入边界条件确定积分常数C1,C2后得（5）沿断面积分式（5）可得流量公式：（6）令表示为压强梯度的无量纲数，则式（5）可改写为（7）库埃特流动参数P取不同数值则流速分布曲线不同，分别绘制于下图中。（7）库埃特流动(1)当P=0即压强梯度（因h，μ，U均不为零），此时0ddxp说明流速为线性分布。这种流动称为简单库埃特流动，槽道中不存在压强梯度，流动只是由上平板带动而引起的。xpdd库埃特流动(2)当P0即压强梯度，压强沿流动方向逐渐降低，称为顺压梯度（favourablepressuregradient）。在整个流域内流速为正值。如图中P=1，2，3情形。0ddxp库埃特流动(3)当P=-1令，即U为流速尺度，y为长度尺度，将流速u和坐标y均化为无量纲量，字母右上方的“°”表示为无量纲量。则上式可写为hyyUuU,2yu（8）库埃特流动(3)当P=-1为一抛物线。在y°=0处，，所以流速分布曲线在此与y轴相切。2yu0dd2yyu1dd22)(xpUhP,所以，（9）为不产生回流的极限压强梯度值。为逆压梯度(adversepressuregradient)。0ddxp库埃特流动(4)当P-122ddhUxp，逆压梯度超过式（9）的极限，在下壁面附近流速将为负值，产生回流(backflow)。如图中P=-2，-3的流速分布曲线。库埃特流动(5)当P=-3062PUhUhQ说明逆压梯度对流量的作用与上平板拖动形成的流量已达到平衡。当P-3则逆压梯度作用更强，使槽中流量变为负值，Q0。泊肃叶流动3ThePoiseuilleFlow泊肃叶流动由压强梯度推动的管、槽中的不可压缩粘性流体的流动成为泊肃叶流动（PoiseuilleFlow）。如下图所示的二维槽道中的恒定流动，z方向为无穷长，流动为二维，基本方程为22ddddyuxp（3）泊肃叶流动边界条件：（10）积分可得：则断面平均流速um为：（11）槽道的单宽流量q为：泊肃叶流动在柱坐标系中，连续性方程表示为：（12）层流的圆管流动研究充分发展段的流动，可得：0xu泊肃叶流动不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系中为：对于恒定圆管流动，N-S方程化简为：泊肃叶流动解得流速分布公式为：)(22041rrCu沿断面积分可得流量Q为：840rCQ420maxrCu断面平均流速um为：820mrCu（13）（14）（15）（16）泊肃叶流动以上就是圆管粘性流动恒定情况下N-S方程的精确解，但它只在层流时即Re=umdν2300时成立。当Re2300,流动可能变为紊流，流动情况将完全与层流不同。引入沿程水头损失系数λ，层流管流沿程水头损失hf可确定如下：gudLhm22f（17）泊肃叶流动对于水平放置的管道，沿程水头损失主要表现为压强水头变化，因此上式可写为：gudxpm2dd-2)(2dd-2mudxp21dd-2mudxp将式（16）带入上式得：duReRem,64（18）泊肃叶流动下图表明λ的理论计算值与实验值符合良好：谢谢大家敬请批评指正