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1第三节2)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn(1)形如的方程称为n阶线性微分方程,特别,0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn(2)称为n阶齐次线性微分方程.一、n阶线性微分方程非齐次*3函数的线性相关与线性无关定义设)(),(),(21xyxyxyn为定义在区间I上的n个函数,如果存在n个不全为零的常数为nkkk,,21,使得当Ix时有恒等式0)()()(2211xykxykxyknn例如,函数xx22sin,cos,1线性相关:0sincos122xx.而函数2,,1xx线性无关,因为02321xkxkk0221kkk.)(),(21xyxy线性相关常数)()(21xyxy.成立,则称这n个函数在区间I上线性相关;否则称线性无关.4线性微分方程的解的结构如果)(,),(1xyxyn是方程(2)的n个解,则它们的任意线性组合也是(2)的解.)()()(11xyCxyCxynnc定理1进一步,如果)(,),(1xyxyn线性无关,则(3)就是(2)的通解.)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn(1)0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn(2)(3)5线性微分方程的解的结构如果)(xy是n阶非齐次线性方程(1)的一个特解,)(xyc是对应齐次方程(2)的通解,则(1)的通解为.)()()(xyxyxyc定理2)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn(1)0)()()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn(2)6二、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的标准形式其中a,b是常数.(1))(xfbyyay0byyay(2)若0)(xf,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,若0)(xf,即方程称为二阶常系数齐次线性微分方程.7二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程0)(yxPy(1)A.方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解;B.方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解.8二阶常系数齐次线性方程解的性质A.方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解;B.方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解.如果)(),(21xyxy是方程(2)的两个解,则)()(2211xyCxyCy也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理30byyay(2)常数如果)()(21xyxy91.二阶常系数齐次线性方程的解法下面来寻找方程(2)的形如xye的特解.将xye代入方程(2),得0e)(2xba,而0ex,于是有代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)02ba0byyay(2)10(3)得到方程(1)的两个特解xry1e1,xry2e2,而Cxyxyxrr)(2121e)(/)(,故它们线性无关,因此(1)的通解为下面来寻找方程(1)的形如rxye的特解.若0,记qp42,情形102qprrxrxrCCy21ee2122,1pr则特征方程(3)有两个相异的实根11若0,只得到方程(2)的一个特解xry1e1,设)(/12xuyy,即xrxuy1e)(2,代入方程(1),并约去xr1e,得因为1r是方程02qprr的二重根,故有0121qprr,021pr,0u,取特解xu,即得xrxy1e2,情形2,22,1pr2y,使12/yy常数.需要求另一个特解,0)()2(1211uqprrupru则特征方程(3)有两个相等的实根于是(2)的通解为xrxCCy1e)(2112ir2,1,方程(1)有两个特解xiy)(1e,xiy)(2e,)sincos(e21xCxCyx.由欧拉公式知由叠加原理,xiyyyxyyyxxsine2/)(cose2/)(212211仍然是(2)的解,且线性无关,所以方程(2)的通解为)sin(cose)sin(cose21xixyxixyxx若0,情形3则特征方程(3)有一对共轭复根1302ba0byyay小结特征根的情况通解的表达式21rr21rrir2,1实根实根复根xrxrCCy21ee21xrxCCy1e)(21)sincos(e21xCxCyx14解特征方程为故所求通解为求微分方程032yyy的通解.例1例2.052的通解求方程yyy解特征方程为0522解得,2121i,故所求通解为)2sin2cos(e21xCxCyxc0322xxcCCy321ee3,121特征根为15解特征方程为故通解为求微分方程0dd2dd22ststs满足初始条件2)0(,4)0(ss的特解.22C,所以所求特解为ttse)24(.例30122121特征根为ttCCse)(21,4)0(1Cs,e)(212ttCCCs,2)0(12CCs16对应齐次方程2.二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1))(xfbyyay0byyay(2)A.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解;B.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解..yyyc定理4设)(xy是方程(1)的一个特解,)(xyc是(2)的通解,那么方程(1)的通解为17对应齐次方程2.二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1))(xfbyyay0byyay(2).yyyc定理4设)(xy是方程(1)的一个特解,)(xyc是(2)的通解,那么方程(1)的通解为问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.18其中r是一个实数,)(xPm是m次多项式.设xrxQye)(,其中)(xQ是多项式,代入方程)(xfbyyay,整理并约去xre,得)()()2(2xPQbarrQarQm(*)型)(e)(.1xPxfmxr则xrxrxQrxQye)(e)()(xrxrxrxQrxQrxQye)(e)(2e)()(219即02barr,则可设)(xQ为次数与)(xPm次数相同的多项式:)()()2(2xPQbarrQarQm(*)情形1若r不是特征根,,)()(xQxQmxrmxQye)(即情形2而02ar,若r是特征方程的单根,即02barr,,)()(xQxxQm则令即xrmxxQye)(20)()()2(2xPQbarrQarQm(*)情形3若r是特征方程的二重根,即02barr,,)()(2xQxxQm则令即且02ar,xrmxQxye)(221综上讨论)(xQ不是特征根r)(exPbyyaymxr设特解为,)(xQm是单特征根r,)(xxQm是二重特征根r,xrxQye)(其中,)(2xQxm)()()2(2xPQbarrQarQm(*)然后将y代入原方程,或根据恒等式(*)来确定)(xQ,从而得到特解y.,若)()(xPxfm可看成是0r的特殊情形.22解对应齐次方程通解特征方程0322特征根1321,,ee231xxcCCy求微分方程1332xyyy的通解.因为0r不是特征根,故设特解BAxy,31,1BA,所以特解xy31,即原方程的通解为31ee321xCCyxx.例4代入原方程,得13)(32xBAxA23.e232的通解求方程xxyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232特征根,,2121.ee221xxcCCy是单根,2代入方程,xBAxA22,,121BA,于是xxxy2e)121(原方程通解为.e)121(ee2221xxxxxCCy例5xBAxxy2e)(所以设得,e)(22xBxAx24解对应齐次方程通解特征方程,0962特征根,32,1.e)(321xcxCCy求微分方程xxyyy3e96的通解.因为3r是二重特征根,解得0,61BA,所以特解xxy33e61,从而方程的通解为xxxxCCy33321e61e)(.例6代入方程,得xBAxxy32e)(所以设特解为,e)(323xBxAx,26xBAx25注意:实际计算时,只要将23)(BxAxxQ代入)()()2(2xPQbarrQarQm现即,)()(xPxQm即得.26xBAx这样比代入原方程要简便得多.解对应齐次方程通解特征方程,0962特征根,32,1.e)(321xcxCCy求微分方程xxyyy3e96的通解.因为3r是二重特征根,例6xBAxxy32e)(所以设特解为,e)(323xBxAx26解求微分方程xyyye44的通解,1)若2,则设特解为xAxy22e,其中为实数.代入原方程,得21A,即特解为xxy22e21,此时原方程的通解为xxxxCCy22221e21e)(;例7对应齐次方程通解特征方程,0442特征根,22,1.e)(221xcxCCy,)(2AxxQ,)(xPQm12A272)若2,则设特解为xAye*,代入原方程,得2)2(1A,即特解为xye)2(12,xyyye44.e)2(1e)(2221xxxCCy此时原方程的通解为28型)sincos(e)(.2xNxMxfxr可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:)sincos(exBxAxyxrk.1;0是特征根不是特征根irirk是待定系数,其中BA,29解求微分方程xyyy2sin1022的通解.因为2,0r,iir2不是特征根,故设特解为例8,xBxAy2sin2cos,xxBAxBA2sin102sin)24(2cos)42(所求通解为对应齐次方程通解特征方程,0222特征根,i12,1.)sincos(e21xCxCyxc代入原方程,得1024042BABA.2sin2cos2)sincos(e21xxxCxCyx,12BA30解求微分方程xyy2sin104的通解.因为2,0r,iir2是特征根,故设特解为例9,)2sin2cos(xBxAxy,xxAxB2sin102sin42cos4所求通解为对应齐次方程通解特征方程,042特征根,i22,1.2sin2cos21xCxCyc代入原方程,得10404AB.2cos252sin2cos21xxxCxCy,025BA31定理5(非齐次线性方程的叠加原理)设)(),(21xyxy分别是非齐次线性方程则)()(21xyxy为非齐次方程和的特解,)(1xfbyyay)(2xfbyyay)()(2
本文标题:第3节-高阶微分方程
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