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当前位置:首页 > 幼儿/小学教育 > 小学教育 > 3.1.2空间向量数乘运算
abbb———共线向量与共面向量回顾aOBb结论:空间任意两个向量都可平移到同一个平面内,成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有关结论仍适用于它们.ba一、空间向量数乘运算1.实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.当时,当时,与向量方向相同;与向量方向相同;是零向量.aa00aaaa当时,0a(1)方向:(2)大小:的长度是的长度的倍.a||a2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律即:()()()()ababaaaaa问题2:平面向量中,)0(//bba.ab的充要条件是:存在唯一的实数,使能否推广到空间向量中呢?问题1:若)0(//aba则ba,所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线.二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//)0(//bba)0(bba)0(//bba由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题共线向量定理:对空间任意两个向量,,的充要条件是存在唯一实数λ,使ab(0).abb)0(//bba性质判定)0(bba如图,l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,aal//atAP对空间任意一点O,,OAOPAP所以atOAOPatOAOP即若在l上取则有ABtOAOP①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线。.alABPO若点P是直线l上任意一点,则由知存在唯一的t,满足aAB①②因为,BBOAOA所以)A(tAOPOOBOOBtOAt)1(特别的,当t=时,21)B(21OPOOA则有aABPOABtOAOP进一步,OBOAOP________还可表示为:OPt1-tP点为A,B的中点练习1.对于空间任意一点O,下列命题正确的是:A.若,则P、A、B共线B.若,则P是AB的中点C.若,则P、A、B不共线D.若,则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA、B、P三点共线ABtOAOPABtAP)1(APyxOByOxOAOABP三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量既可能共面,也可能不共面dbac由平面向量基本定理知,如果,是平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使如果空间向量与两不共线向量,共面,那么可将三个向量平移到同一平面,则有byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢?2211eea1e2e12aa1e2e反过来,对空间任意两个不共线的向量,,如果,那么向量与向量,有什么位置关系?abbyxpab共线,,分别与bbya,ax确定的平面内,都在bbya,ax确定的平面内,,并且此平行四边形在ba共面,与即确定的平面内,在bbbyap,aaxpabABPpCp2.共面向量定理:如果两个向量,不共线,byxpabpab则向量与向量,共面的充要条件是存在实数对x,y使abABPp推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使ACyABxAPCOOCOBOAOP(____)(____)(_____)abABPp对空间任一点O,有填空:1-x-yxyACyABxOAOPC③式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.③由此可判断空间任意四点共面练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C,且有),,,(RzyxOCzOByOAxOP则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的()A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件CP与A,B,C共面ACyABxAPACyABxOAOP)1(0zyxOCzOByOAxOP问题5已知A、B、M三点不共线,对于平面ABM外的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、B、M一定共面?(1)OB→+OM→=3OP→-OA→;(2)OP→=4OA→-OB→-OM→.解(1)原式可变形为OB→=OP→+(OP→-OA→)+(OP→-OM→)=OP→-PA→-PM→,即PB→=OB→-OP→=-PA→-PM→.由向量共面的充要条件知P与A、B、M共面.(2)原式可变形为OP→=2OA→+OA→-OB→+OA→-OM→=2OA→+BA→+MA→.由向量共面的充要条件可得P位于平面ABM内的充要条件可写成OP→=OA→+xBA→+yMA→.而此题推得OP→=2OA→+BA→+MA→,∴P与A、B、M不共面.小结判断点P是否位于平面MAB内,关键是看向量MP→能否用向量MA→、MB→表示(或看向量OP→是否能写成OM→+xMA→+yMB→的形式).当MP→能用MA→、MB→表示时,P位于平面MAB内;当MP→不能用MA→、MB→表示说明P在平面MAB外.例3如图所示,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k,求证:E,F,G,H四点共面.证明因为OEOA=OFOB=OGOC=OHOD=k,所以OE→=kOA→,OF→=kOB→,OG→=kOC→,OH→=kOD→.由于四边形ABCD是平行四边形所以AC→=AB→+AD→.因此EG→=OG→-OE→=kOC→-kOA→=kAC→=k(AB→+AD→)=k(OB→-OA→+OD→-OA→)=OF→-OE→+OH→-OE→=EF→+EH→.由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.研一研·问题探究、课堂更高效因此EG→=OG→-OE→=kOC→-kOA→=kAC→=k(AB→+AD→)=k(OB→-OA→+OD→-OA→)=OF→-OE→+OH→-OE→=EF→+EH→.由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.小结证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量进行表示.跟踪训练3如图所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN→,CD→,DE→共面.证明因为M在BD上,且BM=13BD,所以MB→=13DB→=13DA→+13AB→.同理AN→=13AD→+13DE→.所以MN→=MB→+BA→+AN→=13DA→+13AB→+BA→+13AD→+13DE→=23BA→+13DE→=23CD→+13DE→.又CD→与DE→不共线根据向量共面的充要条件可知MN→,CD→,DE→共面.练一练·当堂检测、目标达成落实处2.空间的任意三个向量a,b,3a-2b,它们一定是()A.共线向量B.共面向量C.不共面向量D.既不共线也不共面向量解析如果a,b是不共线的两个向量,由共面向量定理知a,b,3a-2b共面;若a,b共线,则a,b,3a-2b共线,当然也共面.B练一练·当堂检测、目标达成落实处3.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6OP→=OA→+2OB→+3OC→,则()A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面解析由6OP→=OA→+2OB→+3OC→,得(OA→-OP→)=2(OP→-OB→)+3(OP→-OC→),即PA→=2BP→+3CP→.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.B4.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC→=a,BD→=b,则AF→=______________.23a+13b共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线,或两直线平行判断四点共线,或直线平行于平面)0(//ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP
本文标题:3.1.2空间向量数乘运算
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