分段函数模型在实际问题中的应用

分段函数模型在实际问题中的应用湖南省武陵源一中高飞(高级教师)邮编：427400电话：[phone]数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。本文就分段函数模型在几种实际问题中的应用举例加以说明，供同学们学习时参考。一．醉酒驾车问题举例1.某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=1,10,531532xxxx。《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。(精确到1小时)分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。解析:当0≤x≤1时,f(x)为增函数，f(x)≥50-2=0.040.02；当x1时,f(x)=x3153≤0.02得x31≤301，3x≥30,33=2730,34=8130,x≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.二工作安排问题举例2某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A型零件或者3个B型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。设加工A型零件的工人人数为x名(Nx).⑴分别用含x的式子表示完成A型零件加工所需时间和完成B型零件加工所需时间；⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取何值?解析:⑴生产150件产品，需加工A型零件450个，则完成A型零件加工所需时间f(x)=491,905450xNxxx.生产150件产品，需加工B型零件150个，则完成B型零件加工所需时间g(x)=491,5050503150xNxxx.(2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。令f(x)≥g(x)，即x90≥x5050，解得1≤x≤3271.所以当1≤x≤32时，f(x)g(x)，当33≤x≤49时，f(x)g(x)。故h(x)=4932,,321,,505090xNxxNxxx。当1≤x≤32时，h(x)在[1,32]上单调递减，则h(x)在[1,32]上的最小值为h(32)=16453290(小时)，当33≤x≤49时，故h(x)在[33，49]上单调递增，则h(x)在[33，49]上的最小值为h(33)=1750335050(小时).因为h(33)h(32)，所以h(x)在[1,49]上的最小值为h(32).所以x=32.故为了在最短时间内完成全部生产任务，x应取32.点评:本题主要考查分段函数，反比例函数及其性质等基本知识，同时考查数学建模能力及应用意识。本题的理解有一定难度。三学生听课注意力问题举例3通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知:f(t)=40203807)2010(240)100100242tttttt(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2)讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中?(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?解析:(1)当0t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=-(t-12)2+244是增函数，且f(10)=240.当10t≤40时,f(t)=-7t+380,是减函数，且f(20)=240.所以，讲课开始10分钟学生的注意力最集中，能持续10分钟.(2)f(5)=195，f(25)=205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分钟时更集中(3)当0t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=180，则t=4；当10t≤40时,f(t)=-7t+380=180，t≈28.57，则学生的注意力在180以上所持续的时间28.57-4=24.5724.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。四商品利润最大问题举例4某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x，已知总收入满足函数:R（x）=40080000,4000400221xxxx(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收入=总成本+利润)分析:本题为分段函数型。根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第(1)小题，然后利用配方法和单调性求解最值。解析:(1)月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而f(x)=40010060000,400020000300221xxxxx(3)当0≤X≤400时,f(x)=-21(x-300)2+25000.当X400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)60000-100×40025000.故每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.评注:本题主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解，分段函数的最值求法注意取各段的最大(或者最小)者的最大者(最小者)为函数的最值。