正余弦定理导学案

1正弦定理【学习目标和重点、难点】1.掌握正弦定理的内容；2.掌握正弦定理的证明方法；3.会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习内容和学习过程】一、新课导入试验：固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动．思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系.如图，在RtABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc，从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABC．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即试试：（1）在ABC中，一定成立的等式是（）．A．sinsinaAbBB.coscosaAbBC.sinsinaBbAD.coscosaBbA（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于，sinsincbCB，sinaAsincC．（3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；b．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb；sinC．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．2三、课堂巩固例1.在ABC中，已知45A，60B，42acm，解三角形．变式：在ABC中，已知45B，60C，12acm，解三角形．【课后作业】基础部分1.在ABC中，若sinsinAbBa，则ABC是（）.A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形D．等边三角形2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶1∶3D．2∶2∶33.在△ABC中，若sinsinAB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定4.已知ABC中，sin:sin:sin1:3:3ABC，则::abc=．5.已知ABC中，A60，3a，则sinsinsinabcABC=．6.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120，解此三角形．3余弦定理【学习目标和重点、难点】1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【学习内容和学习过程】复习1：在一个三角形中，各和它所对角的的相等，即==．复习2：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．如何解三角形？思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b.∵b，∴bb同理可得：2222cosabcbcA，2222coscababC．新知：余弦定理：三角形中任何一边的等于其他两边的的和减去这两边与它们的夹角的的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，，．[理解定理]（1）若∠C=90，则cosC，这时222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC中，33a，2c，150B，则b=．（2）△ABC中，2a，2b，31c，则A=．三、课堂巩固例1.在△ABC中，已知3a，2b，45B，求,AC和c．cabABC4变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________．例2.在△ABC中，已知三边长3a，4b，37c，求三角形的最大内角．变式：在ABC中，若222abcbc，求∠A．【课后作业】基础部分1.已知a＝3，c＝2，∠B＝150°，则边b的长为（）.A.342B.34C.132D.132.已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60°B．75°C．120°D．150°3.已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A．513xB．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜54.在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5.在△ABC中，已知三边a、b、c满足222bacab，则∠C等于．1.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1314，求最大角的余弦值．提高部分2.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求ABBC的值.