高中数列经典大题

1．（2010、山东）（本小题满分12分）已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS．（Ⅰ）求na及nS；（Ⅱ）令bn=211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT．2.(2010、天津)（本小题满分14分）在数列na中，10a，且对任意*kNkN，21221,,kkkaaa成等差数列，其公差为kd。(Ⅰ)若kd=2k，证明21222,,kkkaaa成等比数列（*kN）；(Ⅱ)若对任意*kN，21222,,kkkaaa成等比数列，其公比为kq.（i）设1q1.证明11kq是等差数列；(ii)若22a，证明22322(2)2knkknna3、（2009浙江）设nS为数列{}na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数．（I）求1a及na；（II）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值．4.（2009北京）设数列{}na的通项公式为(,0)napnqnNP.数列{}nb定义如下：对于正整数m，mb是使得不等式nam成立的所有n中的最小值.（Ⅰ）若11,23pq，求3b；（Ⅱ）若2,1pq，求数列{}mb的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得32()mbmmN？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由.5.(2009山东)等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS，均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记1()4nnnbnNa求数列{}nb的前n项和nT6.（2009全国卷Ⅱ）已知等差数列{na}中，,0,166473aaaa求{na}前n项和ns.7.（2009安徽）已知数列{}的前n项和，数列{}的前n项和（Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式；（Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜8.（2009江西）数列{}na的通项222(cossin)33nnnan，其前n项和为nS.(1)求nS;(2)3,4nnnSbn求数列｛nb｝的前n项和nT.9、（2009天津）已知等差数列}{na的公差d不为0，设121nnnqaqaaS*1121,0,)1(NnqqaqaaTnnnn（Ⅰ）若15,1,131Saq,求数列}{na的通项公式；（Ⅱ）若3211,,,SSSda且成等比数列，求q的值。（Ⅲ）若*2222,1)1(2)1(1,1NnqqdqTqSqqnnn）证明（10.（2009全国卷Ⅱ理）设数列{}na的前n项和为,nS已知11,a142nnSa（I）设12nnnbaa，证明数列{}nb是等比数列（II）求数列{}na的通项公式。11.（2009辽宁）等比数列{na}的前n项和为ns，已知1S,3S,2S成等差数列（1）求{na}的公比q；（2）求1a－3a＝3，求ns12.（2009陕西）已知数列}na满足，*11212,,2nnnaaaaanN’＋2＝＝.令1nnnbaa，证明：{}nb是等比数列；(Ⅱ)求}na的通项公式。13.（2009湖北）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：（Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝)(2...222n33221为正整数nbbbbn，求数列{bn}的前n项和Sn14.（2009福建）等比数列{}na中，已知142,16aa（I）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若35,aa分别为等差数列{}nb的第3项和第5项，试求数列{}nb的通项公式及前n项和nS。15（2009重庆）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）已知112211,4,4,,nnnnnnaaaaaabnNa．（Ⅰ）求123,,bbb的值；（Ⅱ）设1,nnnncbbS为数列nc的前n项和，求证：17nSn；（Ⅲ）求证：22116417nnnbb．15.（2008四川卷）．设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（Ⅰ）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（Ⅱ）求na的通项公式16.（2008江西卷）数列{}na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列{}nb为等比数列，且113,1ab，数列{}nab是公比为64的等比数列，2264bS.（1）求,nnab；（2）求证1211134nSSS.17..（2008湖北）.已知数列{}na和{}nb满足：1a,124,(1)(321),3nnnnnaanban其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数，证明数列{}na不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{}nb是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0ab,nS为数列{}nb的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有naSb?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.18.（2005北京）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，……，求（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；（II）2462naaaa的值.19.（2005福建）已知{na}是公比为q的等比数列，且231,,aaa成等差数列.（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{nb}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由..,11;,10;,92,nnnnnnbSnbSnbSnNn时当时当时当20.(2006全国高考卷Ⅱ,理)设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….(1)求a1,a2;(2)求{an}的通项公式.21.(2006北京高考,理20)在数列{an}中,若a1,a2是正整数,且an=|an-1-an-2|,n=3,4,5,…,则称{an}为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项);(2)若“绝对差数列”{an}中,a20=3,a21=0,数列{bn}满足bn=an+an+1+an+2,n=1,2,3,…,分别判断当n→∞时,an与bn的极限是否存在,如果存在,求出其极限值;(3)证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.22.(2006天津,理)已知数列{xn}、{yn}满足x1=x2=1,y1=y2=2,并且nnxx1=λ1nnxx,nnyy1≥λ1nnyy(λ为非零参数，n=2,3,4,…).(1)若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值;(2)当λ＞0时，证明11nnyx≤nnyx(n∈N*);(3)当λ＞1时，证明2211yxyx+3322yxyx+…+11nnnnyxyx＜1(n∈N*).23.(2006辽宁,理)已知f0(x)=xn,f1(x)=)1()(11kkfxf.其中k≤n(n、k∈N*).设F(x)=0nCf0(x2)+1nCf1(x2)+…+knCfn(x2)+…+nnCfn(x2),x∈［-1,1］.(1)写出fk(1);(2)证明:对任意的x1、x2∈［-1,1］,恒有|F(x1)-F(x2)|≤2n-1(n+2)-n-1.24.(2006江苏高考,21)设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…),证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).25.(2006福建,理)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足112144bb…14nb=nbna)1((n∈N*),证明{bn}是等差数列;(3)证明2n-31＜21aa+32aa+…+1nnaa＜2n(n∈N*).26,(2006湖北,理)已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=13nnaa,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn＜20m对所有n∈N*都成立的最小正整数m.