中考数学复习几何压轴题

亲炙挚诚1慧识明理中考数学复习几何压轴题1．在△ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转得到△(使＜180°)，连接、，设直线与AC交于点O.(1)如图①，当AC=BC时，:的值为；(2)如图②，当AC=5，BC=4时，求:的值；(3)在(2)的条件下，若∠ACB=60°，且E为BC的中点，求△OAB面积的最小值.图①图②答案(1)1（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB．∴．由旋转图形的性质得，,∴．∵,∴即．∴∽.∴．………………4分（3）解：作BM⊥AC于点M，则BM=BC·sin60°=2．∵E为BC中点，∴CE=BC=2．△CDE旋转时，点在以点C为圆心、CE长为半径的圆上运动．∵CO随着的增大而增大，∴当与⊙C相切时，即=90°时最大，则CO最大．∴此时=30°，=BC=2=CE．∴点在AC上，即点与点O重合．∴CO==2．EDCEBCDAEBEBDAEBDAEBACDCBCECCDDCCEEC,ACCDBCCEDCEECD,EACDCEEACECDDACEBCEBCDAC45BCACEBDA321EECBEBCEBECBECBEC21EEECOD'EBCADE'OE'D'EBCADOD'MEBCADE'亲炙挚诚2慧识明理（如图2）NMACEFB（如图1)NMFAEBC（如图3）MNEACFB又∵CO最大时，AO最小，且AO=AC-CO=3．∴．………………………………………………8分2．点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．(1)若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是三角形．(2)在和中，若BA=BE,BC=BF,且，(如图2)，则是三角形，且.(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.答案：（1）等腰直角………1分（2）等腰………2分………3分（3）结论仍然成立………4分证明：在∴△ABF≌△EBC.∴AF=CE.∠AFB=∠ECB.……5分∵M,N分别是AF、CE的中点,∴FM=CN.∴△MFB≌△NCB.∴BM=BN.∠MBF=∠NBC.……6分∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=.……7分3321BMAOSOAB最小ABEBCFABEFBC090FBCABEMBNABEBCFFBCABEMBNMBNABEABFEBC和中，BABEABFEBCBFBC亲炙挚诚3慧识明理3．图1是边长分别为43和3的两个等边三角形纸片和叠放在一起(与重合)．(1)固定△，将△绕点顺时针旋转得到△，连结(如图2)．此时线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)设图2中的延长线交于，并将图2中的△在线段上沿着方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△设为△(如图3)．设△移动(点在线段上)的时间为x秒，若△与△重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；图1图2图3图4(3)若固定图1中的△，将△沿方向平移，使顶点C落在的中点处，再以点为中心顺时针旋转一定角度，设，边交于点M，边交于点N(如图4)．此时线段的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值；如果有变化，请你说明理由．答案：（1）.………………………………………………………………1分证明：如图2，∵△与△都是等边三角形，△绕点顺时针旋转30°得到△，∴△也是等边三角形，且，∴,.…………………………………2分∴,∴,∴.∴△≌△，∴.……………………………………3分（2）如图3，设分别与交于点.∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，平移后的△为△，.ABCCDECCABCCDEC30CDEADBE、BEADCEABFCDECFCFCDEQRPQRPPQ、CFQRPAFCCDEABCCECEC3090ACCBCDEACDCCNEMCNEMBEADABCDCECDECCDECDE23060ACBDCE,CACBCECD13033023BCEACDBEADPRRQ、ACOL、CDEPQRCQxBAMFBPC'CCAN(C')D'E'EBADC(C')QBARCE'D'321图1图2图3图4(C')CDABE亲炙挚诚4慧识明理由（1）可知，，..,.在中，，..…………………4分过点作于点.在中，，..，.当点与点重合时，，∵，∴.∴此函数自变量x的取值范围是.…………………………………………6分（3）的值不变.……………………………………………………7分证明：如图4，由题意知，，∴，在中，，∴.又∵，∴△∽△，∴．∵点是的中点，，∴，∴，∴．…………………………………………………8分60,30PQRPRQBCABCF30ACF30CLQRLO,90LQCQxROL3QR3RLxRtROL△11(3)22ORRLx3cos30(3)2OLRLx213(3)28ROLSROOLxRRKPQKRtRKQ△33sin602RKRQ19324RPQSPQRK233393848RPQROLySSxx30,60BCFB90BFCPF3FQPQsin606CFBC3CQ03xCNEM541801204CME61204660CEEMCCCNEMECCCCNCCE3CE32ECCC3232EMCN94CNEM654D'E'图1图2图3图4NCC'MABOLK图1图2图3图4CRABQPF亲炙挚诚5慧识明理4．以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．(1)如图①当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．答案：（1），（2）结论仍然成立。证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连结．，．在与中：(SAS).BF=DE,...又CA=AF,CM=MB，AM//FB且AM=FB，,AM=DE．ABCABDACE90,BADCAEABCABDDEAM12AMDEBF,BADAAFEA90BAFDAFEADFABEADDABAEADBAFAEFAFABEADAENF90FPDFAPEAENDEFB21DEAM21亲炙挚诚6慧识明理5．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;(2)如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3)如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.答案：（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°,AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF,∠1＝∠2．--------------------1分∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF．-----------------2分∵EG=BE+BG．∴EF=BE＋FD--------3分12FEDCBA1212亲炙挚诚7慧识明理(2)(1)中的结论EF=BE＋FD仍然成立.---------------------------4分（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE-FD．--------------------5分证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF---------------------6分∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．---------------------7分6．(1)如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．答案：（1）如图１，延长至，使．可证明是等边三角形．……………………………………………1分联结，可证明≌．……………………………………………2分故．……………………………………………3分ABCDCBAB60ABC120ADCDADCBDABCDBCAB60ABCPABCD120APDPAPDPCBDCDEDADEEADACBADCAEBDCECDDECDAD图2图１图1图2亲炙挚诚8慧识明理（2）如图２，在四边形外侧作正三角形，可证明≌，得．…………………………………………4分∵四边形符合（1）中条件，∴．………………………5分联结，ⅰ）若满足题中条件的点在上，则．∴．∴．……………………………………………6分ⅱ）若满足题中条件的点不在上，∵，∴．∴．……………………………………………7分综上，．……………………………………………8分如图10，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BCAC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.（1）求C点的坐标；（2）以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E，求过A、B、E三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABC全等？若存在，求出符合条件的P点的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）∵线段OA、OB的长度是关于x的一元二次方程x2－mx+2(m－3)=0的两个根，∴）　　（　　　　　2)3(2)1(mOBOAmOBOA又∵OA2+OB2=17，∴（OA+OB）2－2·OA·OB=17.（3）∴把（1）（2）代入（3），得m2－4(m－3)=17.∴m2－4m－5=0.，解得m=-1或m=5.又知OA+OB=m0，∴m=－1应舍去.∴当m=5时，得方程x2－5x+4=0.解之，得x=1或x=4.∵BCAC,∴OBOA.∴OA=1，OB=4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB，∴OC2=OA·OB=1×4=4.∴OC=2，∴C（0，2）.ABCDDBACBAADBDBCBDPBAPDAPPBCBPCBPCBPCBPCPDAPCBPCPDPABD