两自由度机械手动力学问题

两自由度机械手动力学问题1题目图示为两杆机械手，由上臂AB、下臂BC和手部C组成。在A处和B处安装有伺服电动机，分别产生控制力矩M1和M2。M1带动整个机械手运动，M2带动下臂相对上臂转动。假设此两杆机械手只能在铅垂平面内运动，两臂长为l1和l2，自重忽略不计，B处的伺服电动机及减速装置的质量为m1，手部C握持重物质量为m2，试建立此两自由度机械手的动力学方程。图1图22数值法求解2.1拉格朗日方程此两杆机械手可以简化为一个双摆系统，改双摆系统在B、C出具有质量m1,m2,在A、B处有控制力矩M1和M2作用。考虑到控制力矩M2的作用与杆2相对杆1的相对转角θ2有关，故取广义力矩坐标为2211,qq系统的动能为二质点m1、m2的动能之和，即由图2所示的速度矢量关系图可知以A处为零势能位置，则系统的势能为由拉格朗日函数，动势为：广义力2211,MQMQ求出拉格朗日方程中的偏导数，即代入拉格朗日方程式,整理得:2.2给定条件（1）角位移运动规律231*52335.0*1163.0ttt，232*52335.0*1163.0ttt21和都是从0到90°，角位移曲线为三次函数曲线。（2）质量m1=4㎏m2=5kg（3）杆长l1=0.5ml2=0.4m2.3MATLAB程序t=0:0.1:3;theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2;w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t;a1=-0.6978*t+1.0467;theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2;w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t;a2=-0.6978*t+1.0467;m1=4;m2=5;l1=0.5;l2=0.4;g=9.8;D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2);D22=m2*l2.^2;D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2);D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2);D111=0;D122=-m2*l1*l2*sin(theta2);D222=0;D211=m2*l1*l2*sin(theta2);D112=-m2*l1*l2*sin(theta2);D121=-m2*l1*l2*sin(theta2);D212=0;D221=0;D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2);D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2);M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1;M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2;T1=polyfit(t,M1,3)T2=polyfit(t,M2,3)subplot(2,1,1),plot(t,M1),gridon,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N·m）'),title('motion1')subplot(2,1,2),plot(t,M2),gridon,xlabel('时间（s）'),ylabel('控制力矩（N·m）'),title('motion2')2.4数值计算结果6167.1*7993.31*7329.3*5685.3t231tttM5449.1*9801.25*9481.8*0679.0t232tttM图3M1变化规律图图4M2变化规律图3ADAMS仿真3.1模型建立图5模型图3.2施加运动在两个关节处分别施加位移函数图6关节运动施加图位移函数为：step(time,0,0,3,pi/2)运动规律如下图所示：图7关节处运动规律图3.3运动仿真设置仿真时间为3s,步数为300步，仿真结果如下图所示：图8关节1处控制力矩仿真结果图图9关节2处控制力矩仿真结果图4结果对比图10控制力矩M1结果对比图图11控制力矩M2结果对比图从函数规律上看，两种求解方法得出的结果几乎一样；从数值上看：表1控制力矩M1数值结果对比t00.51.01.522.53.0数值计算M17.169914.334833.436749.465051.655744.847040.0971仿真求解M17.452614.564633.579849.509351.577544.639839.8039表2控制力矩M2数值结果对比t00.51.01.522.53.0数值计算M22.72146.349615.322720.035614.02183.5374-1.6462仿真求解M22.85996.458515.389720.049513.96553.4113-1.7970由上两表可以看出：数值计算结果与仿真求解结果相差很小，误差范围为0.437%-0.731%，出现这种结果的原因可能是因为两种方法计算的精度不同，或者是算法存在差异。如果对结果精度要求不是很高，可以认为两种方法求得的结果相等，进一步说明了仿真计算的可靠性。