计算方法试题

2001年数值分析试题1．已知：11,42,93===。利用抛物线插值求5的近似值，并估计误差。2．求求积公式100110()()()xfxdxAfxAfx≈+∫的系数、及节点0A1A01,xx使其代数精度尽可能的高。3．计算积分10sinxdxx∫，若用复化梯形公式，问区间应分成多少等份，才能使其截断误差不超过。410−4．求用4阶经典龙格—库塔法求解初值问题'83(0)2yxy=−⎧⎨=⎩的计算公式，取步长=0.2，计算y(0.4)的近似值，小数点后至少保留4位。5．利用LU分解求解线性方程组：12312312332231222xxxxxxxxx121−+=⎧⎪++=⎨⎪−−=⎩6．已知方程组，验证Jacobi方法各Gauss-Seidel方法的敛散性。123211111111121xxx−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．给函数f(x)，设对一切x，f’(x)存在且0'()mfxM≤≤，试证明对于20Mλ的任意λ，迭代过程1()kkkxxfxλ+=−均收敛于f(x)=0的根*x8．，取用幂法求A的按模最大的特征值及其特征向量，要求保留小数点后4位。246391541636A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(0)(1,1,1)TV=2002年数值分析试题1．已知f(i)=2i，i=1，2，3，f’(3)=1，构造一个次数不超过三次的插值多项式H3(x)，使得；并写出余项R(x)=f(x)-H''3()(),1,2,3(3)HifiiHf===33(x)的表达式。2．确定x0，x1，A使下列公式1011(1)()[()()]xfxdxAfxfx−+≈+∫的代数精度尽可能高，并给出用所得公式计算积分12321(1)(234)xxxxd−++++∫x的截断误差。3．取h=0.2用改进的Euler法解如下初值问题：2',012(0)1.yyxxy⎧=⎪+⎨⎪=⎩0.6≤4．设x*是方程f(x)=0的二重根，f(x)在x*的某邻域内有二阶连续导数。（1）证明对f(x)=0用Newton迭代法计算是局部线性收敛的；（2）将Newton公式变形，使其具有局部二阶收敛性。5．用LU法分解求解方程：123123123414141xxxxxxxxx−+=⎧⎪−++=⎨⎪−+=⎩6．考虑用Gauss-Seidel迭代法求解方程组：12310261451054002519xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）取x(0)=0，计算两次迭代值（2）判断该迭代是否收敛，并估计误差(100)*xx−，其中x*是方程组的准确解。7．通过两次平面旋转变换求下列矩阵近似特征值和特征向量：310132023A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦8．用插值法求矩阵的特征多项式P(λ)410141014A⎡⎤⎢⎥=⎢⎢⎥⎣⎦⎥2003年数值分析试题1．设，并已知()ln(1)fxx=+()fx的数据如表：x00.10.20.3f(x)00.0953100.1823220.262364试用二次Newton插值多项式N2(x)计算的近似值并估计误差。(0.25)f2．设计算条件数122(),(),,1,2ijijAaaijij−×==+=()CondA3．用Romberg方法计算积分1012dxx+∫的近似值。4．取h=0.2为步长，用改进的Euler方法解初值问题：',013(0)1yyxxy⎧=≤⎪+⎨⎪=⎩0.45．用Jacobi方法求下列矩阵的全部特征值和特征向量：200031014A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦6．取适当的迭代初值x0，用Newton迭代法求方程3sinxx−的最小正根（准确到小数点后第4位），并讨论数据收敛性。7．用LU分解法求方程组Ax=b，其中：5218252,91258Ab⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢==⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18．设有方程组123123123424242244xxxxxxxxx−+=⎧⎪−+−=⎨⎪−+=⎩（1）取初值，用Jacobi迭代法计算两步迭代量(0)(0,0,0)Tx=(1)(2),xx；（2）讨论用Jacobi迭代法解该方程组的收敛性；（3）估计(50)x与准确的误差。2004年数值分析试题1．已知函数()fx的数据如表：x1.01.11.21.3f(x)0.25000.22680.20660.1890试用二次插值多项式和三次插值多项式计算的近似值。(1.05)f2．用复化Simpson方法（使用五个函数值）计算积分1202dxx+∫的近似值（至少具有3位有效数字）。3．设矩阵，余量。用122(),(),,1,2,(5/6,7/12)TijijAaaijijb−×==+==(0.01,0.02)TrbAx=−=∞范数估计近似解x的误差。4．取适当的迭代初值x0，用Newton迭代法求方程2xxe=−的最小正根（准确到小数点第4位），并讨论收敛性。5．用幂法求下列矩阵的主特征值和主特征向量的近似值：210121012A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，要求取，迭代两次（计算结果保留4位小数）。0(1,1,1)Tu=6．取h=0.2为步长，用四阶R-K方法求解（计算结果保留4位小数）：,00.41(0)1yyxxy⎧=≤⎪+⎨⎪=⎩7．设有三次样条插值函数：[][]33,0,(),1,axbxxsxcxdx⎧+∈⎪=⎨+∈⎪⎩12（1）求b、d的值；（2）该函数在x=1处能否插值于任意函数值？8．设有方程组Ax=b，其中A在第五题中给出，。(1,1,1)Tb=（1）取初值，用Jacobi迭代法计算两步迭代值(0)(0,0,0)Tx=(1)(2),xx；（2）讨论用Jacobi迭代法解该方程组的收敛性；（3）尽你的可能，对该方程组构造一种更好的迭代法。2005年数值分析试题1．已知()fx的数据如表x0124f(x)0352试分别用二次插值多项式和三次插值多项式计算(3)f的近似值。2．设有三次样条插值函数，求a，b，c的值。332,[0,1(),[1,xaxxsxbxxcx⎧+∈=⎨++∈⎩]2]3．用Romberg方法计算积分1202dxxx++∫的近似值（具有3位有效）。4．适当的用幂法求下列矩阵的主特征值及其特征向量的近似值：90.50.50.560.50.50.53A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5．取h=0.2，用改进的Euler阖解如下初值问题：',0(0)1yyxxyy⎧=≤⎪+⎨⎪=⎩0.41116．用LU分解法求解方程组：1231231234225224xxxxxxxxx++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩7．考虑用Gauss-Seidel迭代法求解方程：123421158541241xxx⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1）取，计算两步迭代值(0)0x=(1)(2),xx；（2）判断是否收敛。8．用Newton迭代法求方程的近似根（准确到小数点后第4位）并估计误差。320x−=9．设1212(,),(,)TTxxxyyy==，分别满足方程组112211,10xyababxycdcd⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎣⎦.8⎤⎥⎦；其中，试估计向量y作为第一个方程组解的相对误差。0adbc−≠10．最小二乘法（计算）2006年数值分析试题1．在区间[0,1]上计算向量()1,()12fxgx==−x的P小范数(1,2,)∞和它们之间的夹角。2．构造埃尔米特（Hermite）型插值多项式，使满足插值条件：(0)'(0)0,(1)1,'(1)1HHHH====3．叙述代数精度的概念，并推导如下数值积分公式：10010()()'(1)fxdxAfxAf=+∫以保证它具有尽可能高的代数精度，其中'(1)f表示函数在x=1时的导数。4．利用牛顿迭代法解非线性方程2()10afxx=−=，以推导计算a的迭代公式。利用该公式求71值（结果至少有5位有效数字）。5．（1）以线性方程组为例，说明列选主元技术在高斯（Gauss）消元法解方程组中的作用。2001001xyxy+=⎧⎨+=⎩（2）计算上述方程组的系数矩阵的条件数（按无穷范数计算）。6．构造下述数据的最优平方逼近（最小二乘拟合）函数1()fxabx=+。1.001.251.501.752.001.001.502.002.202.307．对方程组：3107945xyxy−=−⎧⎨−=⎩⎥判断利用Jacobi迭代法求解该方程组是否收敛？如果收敛，请写出迭代公式。8．已知矩阵的主（按模最大）特征值的近似值为2.8。写出用反幂法的计算新近似主特征值及其特征向量的详细过程（要求用三角分解法计算近似特征向量）。1312A−⎡⎤=⎢⎣⎦2007年数值分析试题1．求一形如（a，b为常数）的经验公式，使与下列数据相拟合：2abx+xi1234f(xi)2.56.21018.52．用Romberg方法（至少使用五个函数值）计算积分31dx∫的近似值。x3．利用所学插值方法求5sin8π的值，取节点0123,,,436xxxx0πππ====。4．用Newton迭代法求方程在31xx=−01.3x=附近的近似根（准确到小数点后第4位）。5．用幂法求下列矩阵的主特征值和主特征向量的近似值：2321034361A⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦要求取，至少迭代两次（计算结果保留4位小数）。0(1,1,1)Tu=6．取h=0.2为步长，用经典四阶Runge-Kutta方法求解常微分初值问题（计算结果保留4位小数）：。'0,00(0)1yyxy+=≤⎧⎨=⎩.4⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥7．用三角分解法解线性方程组（要求有具体的分解结果和求解步骤）。123211412341311xxx−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦8．（1）设22AR×∈，且，证明：对线性方程组0(1,2)ijai≠=AXb=，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel方法同时收敛和发散；（2）对方程组取初值，分别用上述两种方法计算两步迭代值12122332xxxx+=⎧⎨+=⎩4(0)(1,1)Tx=(1)(2),xx；（3）分别判定其收敛性，哪种方法收敛（或发散）得快？能否给出一个更好的迭代方法？