不等式1专题复习

不等式第1页，共5页不等式专题复习一、不等式的主要性质：(1)对称性：abba(2)传递性：cacbba,(3)加法法则：cbcaba；dbcadcba,(4)乘法法则：bcaccba0,；bcaccba0,；bdacdcba0,0(5)倒数法则：baabba110,(6)乘方法则：)1*(0nNnbabann且(7)开方法则：)1*(0nNnbabann且二、一元二次不等式02cbxax和)0(02acbxax及其解法000二次函数cbxaxy2（0a）的图象))((212xxxxacbxaxy))((212xxxxacbxaxycbxaxy2一元二次方程的根002acbxax有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根的解集)0(02acbxax21xxxxx或abxx2R的解集)0(02acbxax21xxxx解一元二次不等式02cbxax0a的一般步骤：（1）观察系数a，若0a，在不等式左右两边同时乘以-1，使0a；（2）因式分解得12()()0axxxx或12()()0axxxx；（3）写解集：大于取两边，小于取中间；※特殊情况画图分析。例：求下列不等式解集：（1）271080xx（2）23850xx不等式第2页，共5页（3）2690xx（4）24410xx（5）2250xx（6）210xx三、高次不等式：123()()()0axxxxxx一般步骤：（1）观察系数a，若0a，在不等式左右两边同时乘以-1，使0a；（2）在直角坐标系中标出所有零点123xxx、、；（3）从最大零点右上角开始穿根；（4）根据图像写解集。例：求下列不等式解集：（1）2(6)0xxx（2）(2)(1)(3)(1)0xxxx（3）222(712)(32)(21)0xxxxxx（4）2(2)(1)(23)0xxxxx四、分式不等式：先移项，通分标准化，则：()()0()()0()()0;0()0()()fxgxfxfxfxgxgxgxgx例：求下列不等式解集：（1）(2)(1)0xxx（2）(1)02xxx（3）3211xx五、含有绝对值的不等式1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离2、则不等式：如果,0aaxaxax或||axaxax或||axaax||axaax||3．当0c时，||axbcaxbc或axbc，||axbccaxbc；当0c时，||axbcxR，||axbcx．4、解含有绝对值不等式的主要方法：①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；②去掉绝对值的主要方法有：（1）公式法：||(0)xaaaxa，||(0)xaaxa或xa．（2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．例：求解不等式：不等式第3页，共5页（1）3529x（2）|21||2|4xx．六、含参不等式例1：求下列关于x的不等式的解集（1）11kxk（2）2(1)0xxaa例2：求下列关于x的不等式的解集（1）220xkxk（2）2210mxx七、基本不等式如果ab、是正数，那么).(2号时取当且仅当baabba如果ab、是正数，那么2().2ababab当且仅当时取号※使用基本不等式的条件：一正、二定、三相等例1：当0x时，求231()xxfxx的最小值例2：当1x时，求231()1xxfxx的最小值例3：若54x时，求14245yxx的最大值例4：求222sinsinxx的最小值例5：正数xy、满足6536xy，求xy的最大值例6：当02x时,求22xx的最大值例7：已知0,0xy，且211xy，求2xy的最小值八、线性规划1、线性目标函数的最值例1：,xy满足约束条件222xyxy，求2zxy的取值范围2,6例2：,xy满足约束条件00220xxyxy，求32zxy的最大值42、求可行域面积不等式第4页，共5页例：20200xyxyy表示的平面区域面积为4※重要结论：确定0AxByC或0AxByC平面区域的简便方法：方法一：00AAxByC取直线右边，00AAxByC取直线左边（记作大右小左）方法二：00BAxByC或00BAxByC取直线上边，00BAxByC或00BAxByC取直线下边（记作同上异下）3、非线性目标函数问题（1）比值例1：,xy满足约束条件20170xyxxy，求yx的取值范围9,65例2：ABC中，(2,4),(1,2),(1,0)ABC，点(,)Pxy在ABC内部及边界运动，求下列目标函数的最值：①2yZx②231yUx结论：目标函数形如ybZxa时，可把Z看作动点(,)Pxy与定点(,)Qab连线的斜率（2）距离例1：,xy满足约束条件220240330xyxyxy，求下列目标函数的取值范围：①22Zxy②22(3)Uxy例2：,xy满足约束条件2040250xyxyxy，求221025xyy的最小值92结论：目标函数形如22()()Zxayb时，可把Z看作动点(,)Pxy与定点(,)Qab距离的平方4、含参问题例1：,xy满足的平面区域如下图，目标函数(0)zmxym在平面区域内取最大值的最优解有无数个，则m的值为720不等式第5页，共5页例2：,xy满足约束条件021yyxxym，zxy的最小值为-1，则m的值为5(5,3)A(1,1)B22(1,)5COyx