三角恒等变换和解三角形题型总结(有参考答案)

2010级高三数学第1页三角恒等变换和解三角形基本知识回顾（2009年11月19日）1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　如（1）下列各式中，值为12的是A、1515sincosB、221212cossinC、22251225tan.tan.D、1302cos（答：C）；（2）命题P：0tan(AB)，命题Q：0tanAtanB，则P是Q的A、充要条件B、充分不必要条件C、必要不充分条件D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为____（答：725）；（4）131080sinsin的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等），如（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____（答：322）；（2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值（答：490729）；（3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为______（答：23431(1)555yxxx）(2)三角函数名互化(切化弦)，2010级高三数学第2页如（1）求值sin50(13tan10)（答：1）；（2）已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2)的值（答：18）(3)公式变形使用（tantantan1tantan。如（1）已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝_____（答：22）；(2)设ABC中，33tanAtanBtanAtanB，34sinAcosA，则此三角形是____三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。如(1)若32(,)，化简111122222cos为_____（答：sin2）；（2）函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为___________（答：51212[k,k](kZ)）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1）tan(cossin)sintancotcsc（答：sin）；（2）求证：21tan1sin212sin1tan22；（3）化简：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（答：1cos22x）(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxxtansin42等），如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(7)正余弦“三兄妹—sincossincosxxxx、”的内存联系――“知一求二”，如（1）若sincosxxt，则sincosxx__（答：212t)，特别提醒：这里[2,2]t；（2）若1(0,),sincos2，求tan的值。（答：473）；（3）已知2sin22sin1tank()42，试用k表示sincos的值（答：1k）。3、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。如（1）若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数2010级高三数学第3页23ycosxsinx取得最大值时，tanx的值是______(答：32)；（3）如果sin2cos()fxxx是奇函数，则tan=(答：－2)；（4）求值：20sin6420cos120sin3222________(答：32)4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如（1）若,(0,)，且tan、tan是方程2560xx的两根，则求的值______（答：34）；（2）ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA，则C＝_______（答：3）；（3）若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值（答：23）.5、.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）.如ABC中，若CBABA22222sinsincoscossin，判断ABC的形状（答：直角三角形）。特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：,sin()sin,sincos22ABCABCABC；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）ABC中，A、B的对边分别是ab、，且A=6064,a,b，那么满足条件的ABCA、有一个解B、有两个解C、无解D、不能确定（答：C）；（2）在ABC中，A＞B是sinAsinB成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC中，112(tanA)(tanB)，则2logsinC＝_____（答：12）；(4)在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(abc)(sinAsinB3sinC)asinB，则C＝____（答：60）；（5）在ABC中，若其面积22243abcS，则C=____（答：30）；（6）在ABC中，601A,b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径2010级高三数学第4页是_______（答：2393）；（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，213,cos,cos32BCaA则=，22bc的最大值为（答：1932;）；（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（答：06C）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若75C，且,,AOBBOCCOA的面积满足关系式3AOBBOCCOASSS，求A（答：45）．两角和与差的三角函数（2009年11月20日）例1．求［2sin50°+sin10°(1+3tan10°)］·80sin22的值.解：原式=80sin210cos10sin3110sin50sin2=80sin2)10cos10sin310cos10sin50sin2(=10cos210cos10sin2310cos2110sin250sin2=10cos210cos40sin10sin250sin2=60sin2210cos210cos60sin2=.62322变式训练1：(1)已知∈(2,)，sin=53,则tan(4)等于（）A.71B.7C.－71D.－7(2)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A.－21B.21C.－23D.23解：(1)A(2)B例2.已知α(4，43)，β(0，4),cos(α－4)＝53，sin(43＋β)＝135，求sin(α＋β)的值．解：∵α－4＋43＋β＝α＋β＋2α∈(43,4)β∈(0,1sin311x)∴α－4∈(0,2)β＋43∈(43,π)2010级高三数学第5页∴sin(α－4)＝54cos(43)＝－1312∴sin(α＋β)＝－cos[2＋(α＋β)]＝－cos[(α－4)＋(43)]＝6556变式训练2：设cos（－2）=－91，sin（2－β）=32，且2π＜＜π，0＜β＜2π，求cos（+β）.解：∵2π＜＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2＜π，－4π＜2－β＜2π.故由cos（－2）=－91，得sin（α－2）=954.由sin（2－β）=32，得cos（2－β）=35.∴cos2=cos［（－2）－（2－β）］=cos()cos()sin()sin()2222=1524593397527∴cos（+β）=2cos22－1=275227-1=－729239.例3.若sinA=55,sinB=1010,且A,B均为钝角,求A+B的值.解∵A、B均为钝角且sinA=55,sinB=1010，∴cosA=-A2sin1=-52=-552，cosB=-B2sin1=-103=-10103，∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=552×10103-55×1010=22①又∵2＜A＜,2＜B＜,∴＜A+B＜2②由①②知，A+B=47.变式训练3：在△ABC中，角A、B、C满足4sin22CA--cos2B=27,求角B的度数.解在△ABC中，A+B+C=180°,由