初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)

1初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(cbamcmbmam其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222babababababababababa写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=))((banm思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx=)())((yxayxyx=))((ayxyx例4、分解因式：2222cbaba解：原式=222)2(cbaba=22)(cba=))((cbacba注意这两个例题的区别！练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx22222综合练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22（3）181696222aayxyx（4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2())((abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例5、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：672xx解：原式=)6)(1()]6()1[(2xx1-1=)6)(1(xx1-6（-1）+（-6）=-7练习5、分解因式(1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习6、分解因式(1)22xx(2)1522yy(3)24102xx（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例7、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx练习7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx3（3）317102xx（4）101162yy（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba练习8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672yxyx例10、2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy练习9、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习10、（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、主元法.例11、分解因式：2910322yxyxyx5-2解法一：以x为主元2-1解：原式=)2910()13(22yyyxx(-5)+(-4)=-9=)12)(25()13(2yyyxx1-(5y-2)=)]12()][25([yxyx1(2y-1)=)12)(25(yxyx-(5y-2)+(2y-1)=-(3y-1)解法二：以y为主元1-1解：原式=)2()93(1022xxxyy12=)]2()93(10[22xxyxy-1+2=1=)]2)(1()93(10[2xxyxy2(x-1)=)]2(5)][1(2[xyxy5-(x+2)4=)25)(12(xyxy5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1)56422yxyx(2)67222yxyxyx(3)613622yxyxyx(4)36355622bababa六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件：（1）21aaA，21ccC，21ffF（2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221即：1a1c1f2a2c2fBcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22))((222111fcxafycxa例12、分解因式（1）2910322yxyxyx（2）613622yxyxyx解：（1）2910322yxyxyx应用双十字相乘法：xy52xy21xyxyxy352，yyy945，xxx2∴原式=)12)(25(yxyx（2）613622yxyxyx应用双十字相乘法：xy23xy32xyxyxy23，yyy1394，xxx32∴原式=)23)(32(yxyx练习12、分解因式（1）67222yxyxyx（2）22227376zyzxzyxyx七、换元法。例13、分解因式（1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（1）设2005=a，则原式=axaax)1(22=))(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672∴原式=2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx5（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa例14、分解因式（1）262234xxxx观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式=)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则21222txx∴原式=6)2222ttx（=10222ttx=2522ttx=215222xxxxx=21··522·xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx解：原式=2221414xxxxx=1141222xxxxx设yxx1，则21222yxx∴原式=3422yyx=312yyx=)31)(11(2xxxxx=13122xxxx练习14、（1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx八、添项、拆项、配方法。例15、分解因式（1）4323xx解法1——拆项。解法2——添项。原式=33123xx原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx（2）3369xxx解：原式=)1()1()1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习15、分解因式（1）893xx（2）4224)1()1()1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx6（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba九、待定系数法。例16、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx∵)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622∴613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32n