交大-信号系统-第4章-Z变换-44页-0.6M-ppt版

1第四章、Z变换本章要点Z变换的基本概念和基本性质Z变换的Z域分析离散系统的系统函数离散系统的频率响应2在前面，已讨论过复指数信号是一切LTI系统的特征函数nnzzHnhz)()(nnZnhzH)()(当jez时，即成为离散时间付氏变换njwnjenheH)()(本章讨论更一般的情况jrez，则成为双边z变换。它与连续时间下的拉氏变换对应。3二．z变换与离散时间傅立叶变换的关系。])([)()()(nnjnnjrnxFernxreXzXz变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围更广，收敛性更强。当r=1时jeZ，z变换即成为离散时间付氏变换，故DTFT是z变换的特例，（的圆平面上半径为rZZr....），DTFT是在单位圆上的所作的z变换。4.1双边z变换：一、定义：nnznxzX)()(是一个复数jreZnnjjenxeX)()(4三．z变换与拉氏变换的关系：设x（n）是对连续时间信号)(txa理想抽样后而得到的序列。)()()(nTtnTxtxnap)()(nTxnxannTttp)()(5对)(txp作拉氏变换有：snTnapenTxsX)()(对x（n）作z变换有：nnaznTxzX)()()()(sXzXpeZST这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的z变换之间，本质上是一种映射关系。即通过sTez将s平面的)(sXp映射成z平面上的x（z）。jTjTsTrezeeez负实轴正实轴实轴单位圆外右半面单位圆内左半面单位圆轴..........00.....10.....10......10TSrrjr6四。z变换与DFT的关系：如果)(nx是有限长序列，长度为N，则其Z变换为：10)()(NnnznxzX10210)()()(NnknNjNnknNWzenxWnxzXkN对)(nx作N点DFT有10)()(NnknNWnxkXkNjkNeWzzXkX2)()(这表明有限长序列的DFT就是该序列的z变换在单位圆上以N2等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆上的z变换就是DTFT也即是x（n）的频谱。对z变换在单位圆上均匀抽样，就是对DTFT即信号频谱抽样，这本自就是DFT与频域抽样的关系。74.2Z变换的收敛域22)2()1()0()1()2()()(zxzxxzxzxznxzXnn由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即：并不是任何信号的z变换都存在，也不是任何复数z都能使一个信号的z变换存在。收敛域：能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的集合，称为该z变换的ROC.8由于])([)]([nrnxFnxZ因此当：nnrnx])([时)(nx的z变换存在。可见z变换的ROC与)(nx及rz有关。先看几个例子：9例1：)(21)()1(nunxn右边序列21211121)(101zzzzzXnn211xR21z211xR21]Im[zj]Re[z21z10例2：)1(21)()2(nunxn左边序列12110111111212111)2(12121)(zzzzzzzzXmmmmnmnn0012122ZnRzx包括0收敛半径圆内为收敛域，若则不包括z=0点02n2xR21]Im[zj]Re[z21Z11例3：nnx31)()4(双边序列)1)(31(138))(3(3133131)(13113138101zzzzzzzzzzzzXnnnnn]Im[zj331z]Re[zo12例四、)1()21()()31()(nununxnn10)21()31()(nnnnnnzzZX1121113111zz2131z)1()31()()21()(nununxnn1121113111)(zzzX（31z，21z）由于两个的ROC无公共域，表明该信号的z变换不存在。以上实例说明，不同的信号可能具有相同或不同的z变换式，只是ROC不同，因此ROC是至关重要的。只有z变换式连同相应的ROC，才能与信号建立一一对应的关系。13例五、)()(nunx1011)(zzzXnn1z表明z变换比DTFT的适用范围广。kjjkeeX)2(11)(例六、)()(nnx1)(zXROC为整个z平面。当x（z）的收敛域ROC包括单位圆时jezjzXeX)()(14二。z变换的几何表示，零极点图如果X（Z）是有理数：)()(piZZZZZX（）在z平面上标出x（z）的全部零极点，就构成了零极点图。它与实际的z变换式最多只相差一个常数因子。如果在零极点图上标出ROC，这就是x（z）的几何表示，除了相差一个常数因子外，它与有理z变换是等价的。15例：)]8()([31)()3(nununxn有限长序列)()(11)(31)(31783181318131801zzzzzzzXnn收敛域为除了0的整个平面z]Re[z]Im[zj3131283180)(82zzezezKjkj8个零点7阶极点一阶极点16三。ROC的特征由例子可以看出，ROC是由x（z）的极点位置决定的，ROC有如下几点特征。1．ROC是z平面上的以原点为中心的环形区域。由于])([)]([nrnxFnxZ，对给定的x（n），z变换收敛与否取决于r，而与无关系，rz是z平面上的以原点为中心，r为半径的圆，所以ROC是同心圆环域。2。ROC内无极点。17几类序列的收敛域3.有限长序列：2121)()(NnNznxzXNNnnX（Z）的收敛域为整个平面（可能不包含Z=0和Z=）z]Re[z]Im[zj22)2()1()0()1()2()()(zxzxxzxzxznxzXnn1821)()(NNnnznxzx21NNa.当01N，02N时和式中既有z的正幂项，又有z的负幂项。ROC不包括z=0和z。b.当01N时，和式中只有z的负幂项，ROC不包括z＝0，包括z。c.当02N时，和式中只有z的正幂项，ROC不包括z，包括z＝0。22)2()1()0()1()2()()(zxzxxzxzxznxzXnn194。右边序列：ROC是最外部极点的外部，但可能不包括Z=nnznxzXnnn11)()(圆外为收敛域1xR]Re[z]Im[zj如果n10，则x（z）的和式中只有z的负幂项，故ROC包括Z如果n10，则x（z）的和式中有限个z的正次幂，和无数个z的负幂项故ROC不包括Z205。左边序列：ROC是最内部极点的内部，但可能不包括z＝0。22)()(nnznxzXnnn圆内为收敛域，若则不包括z=0点02n2xR]Im[zj]Re[z如果n2=0，则x（z）的和式中只有z的正幂项，故ROC包括Z=0如果n20，则x（z）的和式中有限个z的负次幂，和无数个z的正幂项故ROC不包括Z=0216。双边序列：z变换如果存在，ROC一定是一个环形收敛域。nznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆内收敛圆外收敛有环状收敛域12xxRR]Im[zj]Re[z2xR1xR2xR1xR224．3z变换的性质z变换的许多性质与拉氏变换的相应性质很类似。（DTFT的性质很相似）。证明方法也雷同。只关注ROC的变化，通过z变换性质的讨论，旨在提示信号在时域与在z域之间的关系。1、线性：)()(11zXnx1R)()(22zXnx2R)()()()(2121zbXnaXnbxnaxROC包括21RR当)(1nx与)(2nx在线性组合过程中出现零极点抵消时，ROC有可能扩大。232。时移：)()(zXnxR0)()(0nzzXnnxROC:R但在z＝0和z有可能有增有删。之所以ROC在z＝0和z可能有增删是因为序列x（n）因果性有可能发生改变。因果序列的ROC必包括z，反因果序列得ROC必包括z＝0。非因果序列的ROC必不包括z＝0和Z(1).x(n)原来是非因果的右边序列…………(2)x(n)原来不是反因果的左边序列…………(3)x(n)原来是非因果的有限长序列记住原则:………..243.频移：)()(zXnxR)()(00jnjezXenxRROC:零极点位置将旋转一个角度0，当0时，有)()1)((zXnxn零极点旋转01800Xa有极点aZaZZX......11)(1有极点00....11)(1jjaeZZaeZX)()(nuan)()(0nuaenjX254.z域尺度变换：)()(zXnxR)()(00zznXnxzROC：Rz0若000jerz则x（z）的零极点，除了旋转一个角度0以外，在径向有0r的变化，于是ROC有一个0z的尺度变化。例:000jerz，20r21210)()(ZXnx)/()(00ZZXnxZn0000......:jeZrZ如果问1265.时域反转：)()(zXnxR)()(1zXnxROC：R1若x（z）的ROC：bza，则)(1zX的ROC:azb11例：1.....11)(1ZZnu1,111)(11zzzznu零极点对X（Z）与X（1/Z）来讲是倒置对称的：276.卷积特性：)()()()(2121zXzXnxnxROC包括21RR当)()(21zXzX有零极点相消时，ROC可能扩大。7.z域微分：)()(zXnxRdzzdXznnx)()(ROC：R121111)(?)(..........)1()(:aznuanxazazazzXn求例)()1()11(2111nunaazazazdzdzn)()(nunanxn28nnuannuaanxnuaaazazzXznnxnxazzXZZnnn)1()()1()()()1()(1)()()()1ln()(11111的反变换求例反变换的非有理函数域的微分性质可求某些利用298.时域求和：)()(zXnxR)(11)(1zXzkxnkROC:包括)1(zR用卷积特性证明)(11)()(1zXZnxnuRZ.........1309.初值定理：若x（n）是因果序列)()(zXnx，且)(limzXz存在，则)(lim)0(zXxzproof：10)()0()()(nnnnznxxznxzXnznxzxzxx)()2()1()0(21当z时，z的负幂次项均趋于零，故初值定理得证。初值定理表明：如果因果序列初值有限,则)(limzXz也为有限值.x（z）为有理数时，其分子多项式的阶数低于分母多项式的阶数是)(limzXz存在的条件。如果分子多项式的