第二讲-弹性力学基础知识

NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元第一章绪论1.1弹性力学及有限元的应用1.2弹性力学定义及基本研究内容1.3有限元方法的介绍1.4弹性力学与有限元之间的关系1.5弹性力学及有限元的发展史1.6课程的学习方法NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元第二章弹性力学基础知识2.1弹性力学的基本假设2.2弹性力学基本概念2.3弹性力学基本方程2.4边界条件2.5圣维南原理2.6虚位移原理2.7强度理论NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。•根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。•基本假设是学科的研究基础。•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。基本假设的必要性NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设连续性假设均匀性假设各向同性假设完全弹性假设小变形假设无初始应力的假设NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设1.连续性假设•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。•——变形后仍然保持连续性。•根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。•微观上这个假设不成立——宏观假设。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设2.均匀性假设•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。•——物体的弹性性质处处都是相同的。•工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。•对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设3.各向同性假设•——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。•——宏观假设，材料性能是显示各向同性。•当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。•——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设4.完全弹性假设•——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。•完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。•研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设5.小变形假设——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.1弹性力学的基本假设——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。6.无初始应力假设NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。2.1弹性力学的基本假设NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元物体外力——分为两类体力分布在物体整个体积内的外力如重力，惯性力，电磁力等面力分布在物体表面上的外力，如液体压力、风力和接触力等2.2弹性力学基本概念一外力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。物体内任一点的体力用Fb表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。体力沿三个坐标轴的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。应该注意的是：这里体力是指一点的体力。2.2弹性力学基本概念1.体力说明NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念2.体力定义NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。这里的面力指的是一点的面力。2.2弹性力学基本概念3.面力说明NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念4.面力定义NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念二内力内力：物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一部分与相邻部分之间的作用力。内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念物体承受外力作用，物体内部各截面之间产生附加内力，为了显示出这些内力，我们用一截面截开物体，并取出其中一部分：三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。取截面的一部分，它的面积为ΔA，为物体在该截面上ΔA点的应力。ΔQΔA平均集度为ΔQ/ΔA，其极限作用于其上的内力为ΔQ，AQSlim三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念通常将应力沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为Sστ正应力σ切应力τ三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元应力分量xyzo应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关。描述应力，通常用一点平行于坐标平面的单元体，各面上的应力沿坐标轴的分量来表称为应力分量。物体内各点的内力平衡，因此相对平面上的应力分量大小相等，方向相反。2.2弹性力学基本概念三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元2.2弹性力学基本概念平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx、τyz表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿坐标轴的方向。如图示的τyx、τyz。σyτyxτyzxyzo符号规定：图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。y三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。图示单元体面的法线为y的负向，正应力记为,沿y轴负向为正。y符号规定2.2弹性力学基本概念三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元弹性力学材料力学注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。符号规定2.2弹性力学基本概念三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元其它x、z正面上的应力分量的表示如图所示。凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。xxyxzyxyyzzxzyzxyyxyzzyxzzxxyzxyyzzx独立应力分量：2.2弹性力学基本概念三应力的概念NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元例3已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。10040804050608060120xyxzxxyyzyxzyzzzoxy100804060504012060802.2弹性力学基本概念三应力的概念－举例NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元ΔABC的法线方向的单位矢量可表示为n=li+mj+nk设ΔA为ΔABC的面积，则ΔOBC=lΔA,ΔOCA=mΔA,ΔOAB=nΔA微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设h为O点至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得将公式代入上式，则2.2弹性力学基本概念四一点的应力状态NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元对于微分四面体单元，h趋近于零，因此同理如果采用张量记号，则上述公式可以表示为2.2弹性力学基本概念四一点的应力状态NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元平面ABC上的正应力和切应力222222()()()ppppxyznlmnlmnlmnxxyzxxyyyzzxzyz则平面ABC上的全应力为22222{(122222[2()]}()()()xxyzxxyyyzzxzyzpnnnlmnlmmnnlxyzxyyzzylmnlmnlmn222222lpmpnpxyznlmnlmmnnlxyzxyyzzy2.2弹性力学基本概念四一点的应力状态NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元1）切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。2）主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。3）主平面上的正应力称为主应力。根据主应力和应力主轴的定义，可以建立其求解方程。2.2弹性力学基本概念五主平面、应力主方向与主应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元根据主平面的定义，应力矢量Pn的方向应与法线方向n一致，设为主应力，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为px=l,py=m,pz=n2.2弹性力学基本概念五主平面、应力主方向与主应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元px=l,py=m,pz=n方程组有非零解的条件求解主应力2.2弹性力学基本概念五主平面、应力主方向与主应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元特征方程应力张量元素构成的行列式主对角线元素之和应力张量第一不变量行列式按主对角线展开的三个代数主子式之和应力张量第二不变量应力张量第三不变量2.2弹性力学基本概念五主平面、应力主方向与主应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元解得的三个实数根即为三个主应力，将主应力代入方程组，可得三个主方向。说明：1、受外力处于平衡的结构内，任意点有三个主应力，且主平面相互垂直。２、主应力值和方向只取决于受力状态，与选取的坐标系无关。３、所有截面中，1232.2弹性力学基本概念五主平面、应力主方向与主应力NORTHEASTERNUNIVERSITY弹性力学及有限元由于外部因素物体内部各点空间位置发生变化位移形式刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。变形位移：位移不仅使得位置改变，而且