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附录5《最优化方法》复习题1、设nnAR是对称矩阵,,nbRcR,求1()2TTfxxAxbxc在任意点x处的梯度和Hesse矩阵.解2(),()fxAxbfxA.2、设()()tfxtd,其中:nfRR二阶可导,,,nnxRdRtR,试求()t.解2()(),()()TTtfxtddtdfxtdd.3、设方向ndR是函数()fx在点x处的下降方向,令()()()()()TTTTddfxfxHIdfxfxfx,其中I为单位矩阵,证明方向()pHfx也是函数()fx在点x处的下降方向.证明由于方向d是函数()fx在点x处的下降方向,因此()0Tfxd,从而()()()TTfxpfxHfx()()()()()()()()TTTTTddfxfxfxIfxdfxfxfx()()()0TTfxfxfxd,所以,方向p是函数()fx在点x处的下降方向.4、nSR是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,mmmxxxSxxx的一切凸组合都属于S.证明充分性显然.下证必要性.设S是凸集,对m用归纳法证明.当2m时,由凸集的定义知结论成立,下面考虑1mk时的情形.令11kiiixx,其中,0,1,2,,1iixSik,且111kii.不妨设11k(不然1kxxS,结论成立),记111kiiikyx,有111(1)kkkxyx,又1110,1,2,,,111kiiikkik,则由归纳假设知,yS,而1kxS,且S是凸集,故xS.5、设nRS为非空开凸集,RSf:在S上可微,证明:f为S上的凸函数的充要条件是2112112()()()(),,TfxfxfxxxxxS.证明必要性.设f是S上的凸函数,则12,xxS及(0,1),有2121((1))()(1)()fxxfxfx,于是121121(())()()()fxxxfxfxfx,因S为开集,f在S上可微,故令0,得12121()()()()Tfxxxfxfx,即2112112()()()(),,TfxfxfxxxxxS.充分性.若有2112112()()()(),,TfxfxfxxxxxS,则[0,1],取12(1)xxxS,从而11()()()()Tfxfxfxxx,22()()()()Tfxfxfxxx,将上述两式分别乘以和1后,相加得1212()(1)()()()((1))Tfxfxfxfxxxx12()((1))fxfxx,所以f为凸函数.6、证明:凸规划min()xSfx的任意局部最优解必是全局最优解.证明用反证法.设xS为凸规划问题min()xSfx的局部最优解,即存在x的某个邻域()Nx,使()(),()fxfxxNxS.若x不是全局最优解,则存在xS,使()()fxfx.由于()fx为S上的凸函数,因此(0,1),有((1))()(1)()()fxxfxfxfx.当充分接近1时,可使(1)()xxNxS,于是()((1))fxfxx,矛盾.从而x是全局最优解.7、设nRS为非空凸集,RSf:是具有一阶连续偏导数的凸函数,证明:x是问题min()xSfx的最优解的充要条件是:()()0,TfxxxxS.证明必要性.若x为问题min()xSfx的最优解.反设存在xS,使得()()0Tfxxx,则dxx是函数()fx在点x处的下降方向,这与x为问题min()xSfx的最优解矛盾.故()()0,TfxxxxS.充分性.若()()0,TfxxxxS.反设存在xS,使得()()fxfx.(())()((1))()fxxxfxfxxfx()(1)()()()()0((0,1)fxfxfxfxfx,因S为凸集,f在S上可微,故令0,得()()()()0Tfxxxfxfx,这与已知条件矛盾,故x是问题min()xSfx的最优解.8、设函数()fx具有二阶连续偏导数,kx是()fx的极小点的第k次近似,利用()fx在点kx处的二阶Taylor展开式推导Newton法的迭代公式为211[()]()kkkkxxfxfx.证明由于()fx具有二阶连续偏导数,故21()()()()()()()()2TTkkkkkkfxxfxfxxxxxfxxx.且2()kfx是对称矩阵,因此()x是二次函数.为求()x的极小点,可令()0x,即2()()()0kkkfxfxxx,若2()kfx正定,则上式解出的()x的平稳点就是()x的极小点,以它作为()fx的极小点的第1k次近似,记为1kx,即211[()]()kkkkxxfxfx,这就得到了Newton法的迭代公式.9、叙述常用优化算法的迭代公式.(1)0.618法的迭代公式:(1)(),().kkkkkkkkabaaba(2)Fibonacci法的迭代公式:111(),(1,2,,1)()nkkkkknknkkkkknkFabaFknFabaF.(3)Newton一维搜索法的迭代公式:1()()kkkktttt.(4)最速下降法用于问题1min()2TTfxxQxbxc的迭代公式:1()()()()()TkkkkkTkkfxfxxxfxfxQfx(5)Newton法的迭代公式:211[()]()kkkkxxfxfx.(6)共轭方向法用于问题1min()2TTfxxQxbxc的迭代公式:1()TkkkkkTkkfxdxxddQd.10、已知线性规划:123123123123123min()2;..360,2210,20,,,0.fxxxxstxxxxxxxxxxxx(1)用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值;(2)写出线性规划的对偶问题;(3)求解对偶问题的最优解和最优值.解(1)引进变量456,,xxx,将给定的线性规划问题化为标准形式:123123412351236126min()2;..360,2210,20,,,,0.fxxxxstxxxxxxxxxxxxxxx1x2x3x4x5x6x4x311100605x1-22010106x11*-100120f-21-100004x20210-1405x300012502x11-100120f-30000-1-20所给问题的最优解为(0,20,0)Tx,最优值为20f.(2)所给问题的对偶问题为:123123123123123max()601020;..32,21,21,,,0.gyyyystyyyyyyyyyyyy(1)(3)将上述问题化成如下等价问题:123123123123123min()601020;..32,21,21,,,0.hyyyystyyyyyyyyyyyy引进变量456,,yyy,将上述问题化为标准形式:123123412351236126min()601020;..32,21,21,,,,0.hyyyystyyyyyyyyyyyyyyy(2)1y2y3y4y5y6y4y-3-1-110025y-12-1*010-16y-1-210011h-60-10-2000004y-2-301-1033y1-2101016y-2000110h-40-5000-20020问题(2)的最优解为(0,0,1)Ty,最优值为20h(最小值).问题(1)的最优解为(0,0,1)Ty,最优值为20g(最大值).11、用0.618法求解2min()(3)tt,要求缩短后的区间长度不超过0.2,初始区间取[0,10].解第一次迭代:取11[,][0,10],0.2ab.确定最初试探点11,分别为11110.382()3.82aba,11110.618()6.18aba.求目标函数值:21()(3.823)0.67,21()(6.183)10.11.比较目标函数值:11()().比较116.1800.2a.第二次迭代:212121210,6.18,3.82,()()0.67aab.2222220.382()0.382(6.180)2.36,()(2.363)0.4aba.2222()(),3.82a.第三次迭代:323232320,3.82,2.36,()()0.4aab.2333330.382()0.382(3.820)1.46,()(1.463)2.37aba.3333()(),3.821.46b.第四次迭代:434343431.46,3.82,2.36,()()0.4abb.444440.618()1.460.0.618(3.821.46)2.918,()0.0067aba.4444()(),3.822.36b.第五次迭代:545454542.36,3.82,2.918,()()0.0067abb.555550.618()3.262,()0.0686aba.5555()(),3.2622.36a.第六次迭代:656565652.36,3.262,2.918,()()0.0067aab.666660.382()2.7045,()0.087aba.6666()(),3.2622.7045b.第七次迭代:767676762.7045,3.262,2.918,()()0.0067abb.777770.618()3.049,()0.002aba.7777()(),b.第八次迭代:878787872.918,3.262,3.049,()()0.002abb.888880.618()3.131,()0.017aba.8888()(),a.第九次迭代:989899982.918,3.131,3.049,()()0.002aab.999990.382()2.999,()0.000001aba.9999()(),3.0492.918a.故993.0242x.12、用最速下降法求解22112212min()2243fxxxxxxx,取(0)(1,1)Tx,迭代两次.解1212()(224,243)Tfxxxxx,将()fx写成1()2TTfxxQxbx的形式,则224,243Qb.第一次迭代:(0)(0)(1)(0)(0)(0
本文标题:《最优化方法》复习题(含答案)
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