初二数学上学期综合复习题答案

1初二数学上学期综合复习题答案1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，过点C作BC的垂线l，把一个足够大的三角板的直角顶点放到点A处（三角板和△ABC在同一平面内），绕着点A旋转三角板，使三角板的直角边AM与直线BC交于点D，另一条直角边AN与直线l交于点E.（1）当三角板旋转到图1位置时，若AC=2，求四边形ADCE的面积；（2）在三角板旋转的过程中，请探究∠EDC与∠BAD的数量关系，并证明.（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°.∵BC⊥l，∴∠BCE=90°，∴∠ACE=45°，∴∠ACE=∠B.∵∠DAE=90°，∴∠2+∠CAD=90°.又∵∠1+∠CAD=90°，∴∠1=∠2，∴△BAD≌△CAE（ASA）.………………….2分∵S四边形ADCE=S△CAE+S△ADC，∴S四边形ADCE=S△BAD+S△ADC=S△ABC.又∵AC=2，∴AB=2，∴S△ABC=1，∴S四边形ADCE=1..……………………………….3分（2）解：分以下两类讨论：lBAC备用图EDCBA图1lNM12EDCBA图1lNM2①当点D在线段BC上或在线段CB的延长线上时，∠EDC=∠BAD，如图1、图2所示.如图1∵△BAD≌△CAE（ASA），（已证）∴AD=AE.又∵∠MAN=90°，∴∠AED=45°.∴∠AED=∠ACB.在△AOE和△DOC中，∠AOE=∠DOC，∴∠EDC=∠2.又∵∠1=∠2，∴∠EDC=∠1.………………………………………....5分如图2中同理可证②当点D在线段BC的延长线上时，∠EDC+∠BAD=180°，如图3所示.…………..…….6分同理可证△BAD≌△CAE（ASA），∴AD=AE.∴∠ADE=∠AED=45°.∵∠EDC=45°+∠ADC，∠BAD=180°-45°-∠ADC，∴∠EDC+∠BAD=180°..…………………………….7分2．已知：四边形ABED中，AD⊥DE、BE⊥DE.(1)如图1，点C是边DE的中点，且AB=2AD=2BE．判断△ABC的形状：（不必说明理由）；(2)保持图1中△ABC固定不变，将直线DE绕点C旋转到图2中所在的MN的位置（垂线段AD、BE在直线MN的同侧）．试探究．．．线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；(3)保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．⑵中结论是否依然成立，若成立请证明；若不成立，请写出新的结论，并给予证明．．ABCDEABCDEMNMNABCDE图1图2图3NMl图3ABCDE12O12MNNMOll图2图1EDCBAABCDE3解(1)等腰直角三角形………………………………………………1分(2)DE=ADBE；………………………………………………2分证明：如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵1CAD=90，12=90，∴CAD=2又∵AC=CB，ADC=CEB=90，∴Rt△ADCRt△CEB∴DC=BE，CE=AD，∴DCCE=BEAD，………………………………………3分即DE=ADBE(3)DE=BEAD…………………………………………………4分如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，∵1CAD=90，12=90，∴CAD=2，又∵ADC=CEB=90，AC=CB，∴Rt△ADCRt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DCCE=BEAD，……………………………………………5分即DE=BEAD.3．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=___________度；（2）设∠BAC=，∠DCE=．①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接．．写出此时与之间的数量关系（不需证明）．DCBAEDEDABCCBA图1图2图3DCBAEDEDABCCBA图1图2图31ABCDE图12MNABCDE图212ABCDEMN图3124解：（1）∠DCE=度；（2）结论：与之间的数量关系是；证明：（3）结论：与之间的数量关系是．解：（1）90度.…………………………………………………………1分（2）①．………………………………………………………2分理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC．即∠BAD=∠CAE．………………………………………………………3分又AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE．…………………………………………………4分∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴．∵，∴．…………………………………………………5分（3）图形正确．………………………………………………………………6分．……………………………………………………………………7分4．如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M.（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．（1）证明：（2）当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为_________________________.证明：图3EDCBA图1图2EDEDABCCBA图3EDCBA图3EDCBA图1图2EDEDABCCBA180BACBDCE180BACB180图3DCBA图1图2EDEDABCCBA图1DNEMABCHlO图2DN(E)(M)ABCHlO备用图DABCO5（3）请你探究线段BN、CE、CD之间的等量关系,并直接写出结论.（1）证明：连结ND∵AO平分BAC,∴12∵直线l⊥AO于H,∴4590∴67∴ANAC∴NHCH∴AH是线段NC的中垂线∴DCDN∴98∴ANDACB∵3ANDB,2ACBB,∴3B∴DNBN∴BNDC（2）当MBC是中点时,CE和CD之间的等量关系为2CDCE证明：过点C作'CNAO交AB于'N由（1）可得'BNCD,',ANACANAE∴43,'NNCE过点C作CG∥AB交直线l于点G∴42,1B∴23∴CGCE∵MBC是中点,∴BMCM在△BNM和△CGM中，1,,,BBMCMNMBGMC∴△BNM≌△CGM∴BNCG∴BNCE∴''2CDBNNNBNCE（3）BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CDBNCE；当点M在BC的延长线上时，CDBNCE；当点M在CB的延长线上时，CDCEBN备用图DABCO987654321ENMDABCHl4321EN'GNMDABCHOl65．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，(2,0)A，(0,4)B，点C在第四象限，AC⊥AB，AC=AB．（1）求点C的坐标及∠COA的度数；（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，直接写出BOMPOMSS的值．解：（1）（2）BOMPOMSS的值为．76．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β．（1）如图⑴，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是；证明你的结论；（2）如图⑵，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是，请说明理由；（3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图⑶中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是．（1）α＋β＝180°；证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD．∵在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＋∠ABD＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋∠BCE＝180°，即α＋β＝180°．（2）α＝β；理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE．在△BAD和△CAE中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACD＝∠ABD＋∠BAC＝∠ACE＋∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，即α＝β．（3）如图，α＝β．图⑴图⑵图⑶ADCEBBCAADCEBBECDA87.请阅读下列材料：问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，MN是过点A的直线，DB⊥MN于点D，联结CD.求证：BD+AD=CD.小明的思考过程如下：要证BD+AD=CD，需要将BD，AD转化到同一条直线上，可以在MN上截取AE=BD，并联结EC，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且∠ACE=∠BCD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE=CD，于是结论得证.小聪的思考过程如下：要证BD+AD=CD，需要构造以CD为腰的等腰直角三角形，可以过点C作CE⊥CD交MN于点E，可证△ACE和△BCD全等，得到CE=CD，且AE=BD，由此推出△CDE为等腰直角三角形，可知DE=CD，于是结论得证.请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题：(1)将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时，其它条件不变，猜想BD，AD，CD之间的数量关系，并选择其中一个图形加以证明；(2)在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=时，CD=__________．解：（1）如图2，BD－AD=CD.222222MDNBCA图2BCNMDA图32ACBNDME图19如图3，AD－BD=CD.证明图2：（法一）在直线MN上截取AE=BD，联结CE．设AC与BD相交于点F，∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，∴∠CAE+∠AFD=90°．∵∠ACB=90°，∴∠1+∠BFC=90°．∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．∵AC=BC，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴CE=CD，∠ACE=∠BCD．∴∠ACE－∠ACD=∠BCD－∠ACD，即∠2=∠ACB=90°．在Rt△CDE中，∵，∴，即DE=CD．∵DE=AE－AD=BD－AD，∴BD－AD=CD．（法二）过点C作CE⊥CD交MN于点E，则∠2=90°．∵∠ACB=90°，∴∠2+∠ACD=∠ACB+∠ACD，即∠ACE=∠BCD．设AC与BD相交于点F，∵DB⊥MN，∴∠ADB=90°．∴∠CAE+∠AFD=90°，∠1+∠BFC=90°．∵∠AFD=∠BFC，∴∠CAE=∠1．∵AC=BC，∴△ACE≌△BCD（ASA）．∴CE=CD，AE=BD．在Rt△CDE中，∵，∴，即DE=CD．∵DE=AE－AD=BD－AD，∴BD－AD=CD．证明图3：（法一）在直线MN上截取AE=BD，联结CE．设AD与BC相交于点F，∵∠ACB=90°，∴∠2+∠AFC=90°．∵BD⊥MN，∴∠ADB=90°，∠3+∠BFD=90°．∵∠AFC=∠BFD，∴∠2=∠3．∵AC=BC，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴CE=CD，∠1=∠4．∴∠1+∠BCE=∠4+∠BCE，即∠ECD=∠ACB=90°