高中立体几何大题20题汇总

(2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG.（1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2)求多面体CDEFG的体积。【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EGGF又因为CFEGF底面,可得CFEG，即EGCFG面所以平面DEG⊥平面CFG.（2）过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G-EFCD的高，所以所求体积为11125520335DECFSGO正方形2012，山东(19)(本小题满分12分)如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，,CBCDECBD.(Ⅰ)求证：BEDE；(Ⅱ)若∠120BCD，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BCCD知，COBD，又已知CEBD，所以BD平面OCE.所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，所以BEDE.(II)取AB中点N，连接,MNDN，∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DNAB.由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BCAB，所以ND∥BC，所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCDABCD中，,ADBC//AD11,2,2,4,2,ABABADBCAAEDD是的中点，F是平面11BCE与直线1AA的交点。（Ⅰ）证明：（i）11;EFAD//ii（）111;BABCEF平面（Ⅱ）求1BC与平面11BCEF所成的角的正弦值。解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。（Ⅰ）（i）因为11111111,,CBADCDADDA平面//所以1111.CBADDA平面//又因为1111,BCEFADDAEF平面平面所以11,CBEF//所以11.ADEF//ii（）因为11111,BBABCD平面所以111.BBBC又因为11111111111,,.BCBABCABBABCBA所以平面所以在矩形111,ABBAFAA中是的中点，1112tantan,2ABFAAB即11111.ABFAABBABF所以111.BABCEF平面（Ⅱ）设1BA与1BF交点为H，连接1,CH由（Ⅰ）知111.BABCEF平面所以1111BCHBCBCEF是与面所成的角在矩形1114,2,2,.6AABBABAABH中得在直角1BHC中，11143025,,sin.156BHBCBHBCHBC得所以1BC与平面11BCEF所成的角的正弦值是30.15(第20题图)FEC1B1D1A1ADBC(第20题图)HFEC1B1D1A1ADBC（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCDABCD中，点M是棱'AA的中点，点O是对角线'BD的中点，（Ⅰ）求证：OM为异面直线'AA与'BD的公垂线；（Ⅱ）求二面角''MBCB的大小；解：连接AC,取AC中点K，则K为BD中点，连接OK，因为点M是棱'AA的中点，点O是'BD的中点，∴1'2AMDDOK,AM∥1'2BD∥OK,∴MOAK,MO∥AK.由'AAAK,得'MOAA.因为,'AKBDAKBB,所以AK平面''BDDB∴'AKBD,∴'MOBD.又∵OM与异面直线'AA和'BD都相交，故OM为异面直线'AA和'BD的公垂线。…………………（5分）（Ⅱ）取'BB的中点N，连接MN，则MN⊥平面''BCCB,过点N作NH⊥'BC于H，连接MH，则由三垂线定理得'BCMH,从而MHN为二面角''MBCB的平面角。设1AB,则1221,sin45224MNNHBN，在RtMNH中，1tan2224MNMHNNH.故二面角''MBCB的大小为arctan22。……………（12分）2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCCB是菱形，11BCAB（Ⅰ）证明：平面11ABC平面11ABC；（Ⅱ）设D是11AC上的点，且1//AB平面1BCD，求11:ADDC的值。2012辽宁（18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，2,ABACAA′=1，点M，N分别为/AB和//BC的中点。(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;(Ⅱ)求三棱锥/AMNC的体积。（椎体体积公式V=13Sh,其中S为地面面积，h为高）【答案与解析】2012，北京（16）（本小题共14分）如图1，在RtABC中，90C，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1AFCD，如图2．（Ⅰ）求证：DE//平面1ACB；（Ⅱ）求证：1AFBE；（Ⅲ）线段1AB上是否存在点Q，使1AC⊥平面DEQ？说明理由．解：（Ⅰ）因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE//BC．又因为DE平面1ACB，所以DE//平面1ACB平面．（Ⅱ）由已知得ACBC且DE//BC，所以DEAC．所以1DEAD，DECD．所以DE平面1ADC．而1AF平面1ADC，所以1DEAF．又因为1AFCD，所以1AF平面BCDE．所以1AFBE．（Ⅲ）线段1AB上存在点Q，使1AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取1AC，1AB的中点P，Q，则PQ//BC．又因为DE//BC，所以DE//PQ．所以平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知，DE平面1ADC，所以1DEAC．又因为P是等腰三角形1DAC底边1AC的中点，所以1ACDP．所以1AC平面DEP．从而1AC平面DEQ．故线段1AB上存在点Q，使得1AC⊥平面DEQ．DFDEBCA1FECBA图2图1A1PFDQECB2012天津17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2.（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。18．（本题满分12分）如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，90ACB，2ACBC，14AA，E、F分别是棱CC1、AB中点．（1）判断直线CF和平面AEB1的位置关系，并加以证明；（2）求四棱锥A—ECBB1的体积．（1）解：CF//平面AEB1，……2分证明如下：取AB1的中点G，联结EG，FGGF,分别是棱AB、AB1中点.21,//11BBFGBBFG……4分又.21,//11BBECBBECECFGECFG,//四边形FGEC是平行四边形.//EGCF又CF平面AEB，EG平面AEB1，//CF平面AEB1。……6分（2）解：三棱柱ABC—A1B1C1是直棱柱，1BB平面ABC，又AC平面ABC1BBAC90ACBBCAC.1BBCBBAC平面ECBB1ACSVSCBBECBBA1131E是棱CC1的中点，2211AAEC62)42(21)(2111BCBBECSECBB.426313111ACSVECBBECBBA……12分(本小题满分12分)如图，三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.（Ⅰ）求证：DM//平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，∴MD//AP，又∴MD平面ABC∴DM//平面APC……………3分（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。∴MD⊥PB又由（Ⅰ）∴知MD//AP，∴AP⊥PB又已知AP⊥PC∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC∴BC⊥平面APC，∴平面ABC⊥平面PAC……………8分（Ⅲ）∵AB=20∴MB=10∴PB=10又BC=4，.2128416100PC∴.2122124414121BCPCSSPBCBDC又MD.351020212122AP∴VD-BCM=VM-BCD=710352123131DMSBDC………………12分【2012高考全国文19】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作．．．．．．答无效．．．）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。（Ⅰ）证明：PC平面BED；（Ⅱ）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。解析：【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明和求解。解：设ACBDO,以O为原点，OC为x轴，OD为y轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),ACP设(0,,0),(0,,0),(,,)BaDaExyz。（Ⅰ）证明：由2PEEC得22(,0,)33E，所以(22,0,2)PC，22(,,)33BEa，(0,2,0)BDa，所以22(22,0,2)(,,)033PCBEa，(22,0,2)(0,2,0)0PCBDa。所以PCBE,PCBD，所以PC平面BED；（Ⅱ）设平面PAB的法向量为(,,)nxyz，又(0,0,2),(2,,0)APABa，由0,0nAPnAB得2(1,,0)na，设平面PBC的法向量为(,,)mxyz，又(2,,0),(22,0,2)BCaCP，由0,0mBCmCP，得2(1,,2)ma，由于二面角APBC为90，所以0mn，解得2a。所以(2,2,2)PD，平面PBC的法向量为(1,1,2)m，所以PD与平面PBC所成角的正弦值为||12||||PDmPDm，所以PD与平面PBC所成角为6.ECBDAP27.【2012高考安徽文19】（本小题满分12分）如图，长方体1111DCBAABCD中，底面1111DCBA是正方形，O是BD的中点，E是棱1AA上任意一点。（Ⅰ）证明：BD1EC；（Ⅱ）如果AB=2，AE=2，1ECOE,，求1AA的长。【解析】（I）连接AC，11//,,,AECCEACC共面长方体1111DCBAABCD中，底面1111DCBA是正方形,,ACBDEABDACEAABD面1EACC1BDEC（Ⅱ）在矩形11ACCA中，111OEECOAEEAC得：111112232222ACAAAEAAAOEA【2012高考四川文19】(本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.[解析]（1）连接OC.由已知，ABCPCOCP与平面为直线所成的角设AB的中点为D，连接PD、CD.因为AB=BC=CA,所以CDAB.因为为，所以，PADPAB