计数原理与排列组合(教师用)

实用文档文案大全姓名学生姓名填写时间2016-12-7学科数学年级高三教材版本人教版阶段第（48）周观察期：□维护期：□课题名称排列组合课时计划第（）课时共（）课时上课时间2016-12-8教学目标大纲教学目标1、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．2、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．个性化教学目标体会分类讨论的思想教学重点1、正确区分排列与组合,熟练排列数与组合数公式2、能熟练利用排列数与组合数公式进行求值和证明.教学难点分类讨论思想的灵活应用教学过程问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?一、分类计数原理完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有12nNmmm种不同的方法说明：1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.例1、在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学：生物学化学医学物理学工程学B大学：数学会计学信息技术学法学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？问题2.如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去第一部分：计数原理A村北中北实用文档文案大全C村，共有多少种不同的走法?二、分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有12nNmmm种不同的方法说明：1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？例3、浦江县的部分电话号码是05798415××××,后面每个数字来自0～9这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?一、问题引入问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？第二部分：排列实用文档文案大全问题2：从1、2、3、4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？问题1和2的共同点是什么？二、排列1、对排列定义的理解.定义：一般地，从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2、相同排列.如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.3、排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的排列的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号mnA表示.且有：nnA正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列公式可以写成：nnAn!,规定0!=1，所以An0＝1。注意：mnn!A(nm)!11mnmnnAA!)!1(!nnnn例1、A，B，C，D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．实用文档文案大全解：假设A，B，C，D四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如下：换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.练习2：四人A、B、C、D坐成一排，其中A不坐在排头，写出所有的坐法．解：例2设a∈N*，且a＜27，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于()A．A27－a8B．A34－a27－aC．A34－a7D．A34－a8解析：8个括号是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.练习1：解不等式：A8m＋2＜6A8m.解析：原不等式可化为8！－m－！＜6·8！－m！，化简得m2－15m＋50＜0，即(m－5)(m－10)＜0，解得5＜m＜10，又m＋2≤8m≤8，即m≤6，所以m＝6.练习2：计算(1)A95＋A94A106－A105；(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！.(3)2A85＋7A84A88－A95；(4)An－1m－1·An－mn－mAn－1n－1.[解析](1)方法一：A95＋A94A106－A105＝5A94＋A9450A94－10A94＝6A9440A94＝320.方法二：A95＋A94A106－A105＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320.实用文档文案大全(2)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1.(3)2A85＋7A84A88－A95＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(4)An－1m－1·An－mn－mAn－1n－1＝n－！n－－m－！·(n－m)！·1n－！＝n－！n－m！·(n－m)！·1n－！＝1.例3、求证：An＋1m－Anm＝mAnm－1.[解析]证法一：An＋1m－Anm＝n＋！n＋1－m！－n！n－m！＝n！n－m！n＋1n＋1－m－1＝n！n－m！·mn＋1－m＝m·n！n＋1－m！＝mAnm－1.练习：求证：An＋1n＋1＝An＋1n＝(n＋1)Ann证明：∵An＋1n＋1＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，An＋1n＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2，(n＋1)Ann＝(n＋1)×n!＝(n＋1)×n×(n－1)×…×3×2×1，∴An＋1n＋1＝An＋1n＝(n＋1)Ann.巩固练习：1、某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别赛一次，共进行多少场比赛？2、（1）从5本不同的书中选3本选给3名同学，每人各1本，共有多少种不同选法？（2）从5种不同的书中买3本选给3名同学，每人各1本，共有多少种不同选法？实用文档文案大全3、用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4310的四位偶数．[解题过程](1)方法一(直接法)：第一步，排个位，有A31种排法；第二步，排十万位，有A41种排法；第三步，排其他位，有A44种排法．故共有A31A41A44＝288个六位奇数．方法二(排除法)：6个数字全排列有A66个，0,2,4在个位上的排列数有3A55个，1,3,5在个位上且0在十万位上的排列数有3A44个，故对应的六位奇数的排列数为A66－3A55－3A44＝288(个)．(2)方法一(排除法)：0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504(个)．方法二(直接法)：十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；实用文档文案大全第二类，当个位不排0时，有A41A41A44个．故共有符合题意的六位数有A55＋A41A41A44＝504(个)．(3)①当千位上排1,3时，有A21A31A42个．②当千位上排2时，有A21A42个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A31个；形如41××的有A21A31个；形如43××的只有4310和4302这两个数，故共有A21A31A42＋A21A42＋2A31＋A21A31＋2＝110(个)．题后感悟：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论．一、问题引入问题3：从3名同学中选出2名的可能选法是多少？问题4：区别问题1与问题3的不同点。二、组合1、组合定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.注意：排列与组合的联系与区别。共同点：两者都是从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素；第二部分：组合实用文档文案大全不同点：排列与元素周期律的顺序有关，组合与元素的顺序无关。只有元素相同且顺序相同的两个排列才是相同的，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序是否相同，它们都是相同的组合。2、组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号mnC表示.探究2：从4个不同的元素中取出3个元素的排列与组合的关系？从n个元素中取出m个元素的排列与组合的关系？3、组合数公式：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmnCn0＝1例1判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选2名学生，去完成同一件工作有多少种不同的选法？(4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(5)5个人相互各写一封信，共写了多少封信？解：(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出的元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别为组合问题．(5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．例2(2011·大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠实用文档文案大全送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种解析：分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C41＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)，故选B.练习1：某人决定投资于8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？解：需分两步：第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C128种选法；第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C74种选法．根据分步乘法计数原理，此人有C128·C74＝17325种不同的投资方式．练习2：现有10名大学生，其中男生6名，女生4名．(1)现要从中选2名参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女大学生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解析：(1)从10名大学生中选2名去参加会议的选法数就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C102＝10×92×1＝45种．(2)从6名男大学生中选2名的选法有C62种，从4名女大学生中选2名的选法有C42种，根据分步乘法计数原理，因此共有选法C62·C42＝6×52×1·4×32×1＝90种．例3一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一个参加过比赛，按照