2019年考研数学二真题及答案解析

Borntowin2019年考研数学二真题及答案解析——跨考教育数学教研室一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）当0x时，若tankxxx与是同阶无穷小，则k（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【答案】C【解析】33311tan(())~,33xxxxxoxx故3.k（2）设函数3sin2cos22yxxxx的拐点坐标为（A）,22（B）0,2.（C）,2（D）33,22【答案】C【解析】'sincos2sincossinyxxxxxxx''cossincossinyxxxxxx令''00yxx得或当''0;''0xyxy时当时，，故(,-2)为拐点（3）下列反常积分发散的是（）（A）0xxedx（B）20xxedx（C）20arctan1xdxx（D）201xdxx【答案】（D）【解析】（A）00001,.xxxxxedxxdexeedx收敛.Borntowin（B）2220011,.22xxxedxedx收敛（C）22200arctan1arctan128xdxxx，收敛.（D）22001ln(1).12xdxxx发散综上，故选（D）（4）已知微分方程xyaybyce的通解为12(),xxyCCxee则,,abc依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2（C）2,1,3（D）2,1,4【答案】D【解析】221012,1;2,4.xxrarbrabeyyycec由题干分析出为特征方程的二重根,即=0故又为的解代入方程得（5）【答案】【解析】（6）已知(),()fxgx二阶可导且在xa处连续，则(),()fxgx在a点相切且曲率相等是2()()lim0()xafxgxxa的（）（A）充分非必要条件（B）充分必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件【答案】（C）【解析】因2()()lim0()xafxgxxa，则Borntowin221[()()]()()()()()()2lim0()xafagafagaxafagaxaxa，故()()0()()0()()0fagafagafaga由此可得(),()fxgx在a点相切且曲率相等。反之，由(),()fxgx在a点相切且曲率相等可得()()0()()0()=()fagafagafaga，，，但无法肯定2()()lim0()xafxgxxa.综上，选（C）.（7）设A是四阶矩阵，*A是A的伴随矩阵，若线性方程组0Ax的基础解系中只有2个向量，则*A的秩是（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】（A）【解析】由于0AX的基础解系有只有两个解向量，则4()2()23RARA由可得，*()0.RA故（8）设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若22AAE,且||4A,则二次型TxAx的规范形为（A）222123yyy.（B）222123yyy.（C）222123yyy.（D）222123yyy【答案】C【解析】22AAE,设A的特征值为22,(2)(1)0,21或4A,A的特征值为1232,12,1qpTXAx的规范形为222123yyy二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.Borntowin(9)20lim______.(2)xxxx【答案】24e【解析】20lim(2)xxxx02(21)limxxxxe0212lim()xxxxxe2(1ln2)42ln224eee(10)曲线sin1cosxttyt在32t对应点处切线在y轴上的截距_______.【答案】322y【解析】32t时，31,12xy,333222'()sin1'()1costttdyyttdxxtt则曲线在32t对应点处的切线方程为31(1)2yx令0x得322y(11)设函数()fu可导，2()yzyfx，则2zzxyxy=__________.【答案】2()yyfx【解析】2222222(),()(),()()(),yzyyzyyyzyfyffyfxxxxyxxx22()zzyxyyfxyx则.(12)设函数lncos(0)6yxx的弧长为__________。【答案】1ln32【解析】226666000011()1tanseclnsectanln3ln32sydxxdxxdxxxBorntowin（13）已知函数21sin(),xtfxxdtt则10()fxdx=__________.【答案】1(cos11)4【解析】21012111210001211122220000sin()(),sin1(),()=()()211sin11()()cos(cos11)2244xxtfxdxfxxdtttxdtfxdxxxdxxdxtxxxxdxxdxxx令则（14）已知矩阵1100211132212034A，ijA表示A中(,)ij元的代数余子式，则1112AA【答案】4【解析】111211002111432212034AAA三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知2,0,()1,0xxxxfxxex，求'()fx，并求()fx的极值【答案】【解析】当0x时.2ln2ln2'()()'(22)(22)xxxxxfxeelnxxlnx当0x时.'()()'xxxfxxeexe.又因()fx在0x不连续，故(0)f，因此2(22),0'()(1),0xxxlnxxfxexx当0x时，'()0()fxfx，即单调递增，当0x时，'()0()fxfx，即单调递减.Borntowin故()0(0)1fxxf在取极大值,且.（16）（本题满分10分）求不定积分2236(1)(1)xdxxxx【答案】232ln1ln(1)1xxxCx.【解析】22222362321(1)(1)1(1)132ln1ln(1).1xxdxdxxxxxxxxxxxCx（17）（本题满分10分）已知()yx满足微分方程221'2xyxyex，且有(0)ye.（1）求()yx；（2）(,)12,0()Dxyxyyx，求平面区域D绕x轴旋转成的旋转体体积【答案】（1）22xyxe；（2）4(4)2Ve；【解析】（1）222()()2221122xxxxdxxdxyeeedxCedxCexCxx22()0xyeeCyxe由可得，故.（2）2222411(4).2xVydxxedxVe（18）（本题满分10分）【答案】【解析】（19）（本题满分10分）nN，nS是sinxfxex的图像与x轴所围图形的面积，求nS，并求limnnS【答案】Borntowin【解析】所求面积-sinxAexdx.1001111001101sinlim1sin11lim1cossin=lim111221112limlim121222nkkxxknkknnkkkkkxknnkkknnknkknnkkexdxexdxexxeeeeeee011121sin2sinxxeexdxexdx（20）（本题满分11分）已知函数(,)uxy满足222222330uuuuxyxy，求,ab的值，使得在变换(,)=(,)axbyuxyvxye下，上述等式可化为(,)vxy不含一阶偏导数的等式【答案】【解析】(,)axbyaxbyuveavxyexx22222(,)axbyaxbyaxbyaxbyuvvveaeaeavxyexxxx2222(,)axbyaxbyaxbyvveaeavxyexx(,)axbyaxbyuvebvxyeyy22222(,)axbyaxbyaxbyaxbyuvvvebebebvxyeyyyy2222(,)axbyaxbyaxbyvvebebvxyeyy则22222233uuuuxyxy22222242(,)24axbyaxbyaxbyaxbyaxbyvvvveaeavxyeebexxyyBorntowin22(,)33(,)33(,)0axbyaxbyaxbyaxbyaxbyvvbvxyeeavxyeebvxyexy22222222(43)(34)(2233)(,)0vvvvabababvxyxyxy即由题意可知4430334043aabb得（21）（本题满分11分）已知函数()fx在0,1上具有二阶导数，且10(0)0,(1)1,()1fffxdx，证明：（1）存在0,1（），使得()0f；（2）存在0,1（），使得()2f.【答案】【解析】（1）已知()fx在[0,1]上有二阶导数.且10()1fxdx，故由拉格朗日中值定理可知，1(0,1)使1()1f.根据题设，可知1()(1)1ff，故利用罗尔定理，可知1(,1)(0,1)，使'()0f.（2）令22111()(),(0)0,(1)2,()1,(0,1)GxfxxGGG，对()Gx分别在11(0,),(,1)上用拉格朗日中值定理，存在11(0,),使得111()(0)(),GGG即21111(),G存在21(,1),使得121(1)()(),1GGG即21()1,G对()()2Gxfxx在12(,)上用拉格朗日中值定理，存在12(,)(0,1),使得2121()()(),GGG即11211()20,()f即()2.fBorntowin（22）（本题满分11分）已知向量组1232111()1,0,2,443a1232101()1,2,3,313aaa