六年级奥数-牛吃草问题教案

六年级奥数3.23牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量4、最后求出可吃天数常用到五个基本公式，分别是︰1)设定一头牛一天吃草量为“1”2）草的生长速度＝草量差÷时间差；3）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`4）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；5)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例1：一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？解析：这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21头牛吃72÷（21-15）＝12（周）例题2：一块牧场的草够12头牛吃12天,或15头牛吃8天。如果生全部时间内青草能均匀生长,那么,这块牧场6天能养活多少头牛?解析：设1头牛1天吃草量为“1,12头牛12天吃草量为:1X2X12=144;15头牛8天的吃草量为:1X15X8=120.牧场每天新:的草数量为:(144-120)+(12-8)=6,再根据“(牧场原有的草+6共生长的草)+每头牛6天的吃草量=6天能养活牛的头数”,可列为:(144-6X12+6X6)+(1X6)=108+6=18(头)。六年级奥数3.23例题3：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？解析：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少，但是，我们同样可以利用与例1类似的方法求出每天减少的草和原来的草的总量。设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当于10头牛同时在吃草，所以原有草两有（20+10）×5=150（份），由150÷10=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头牛吃10天。例题4：一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？解析：设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8=25头例题5：有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？解析：前几次我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即[5，6，8]=120。这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）答：第三块草地可供19头牛吃8天。六年级奥数3.23例题6：有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？解析：这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作1份。因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。解法一：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所以3360/80=42(头)解法二：根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：28×45-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头例题7：经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活亿人？解析：设1亿人1年所消耗的资源为1份那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）六年级奥数3.23例题8：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？解析：与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100—90=10（级），多用了6—5=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以，扶梯共有（20+10）×5=150（级）例题9：一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？解析：已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（12×3）人舀完，也就是36人用1小时才能舀完。已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（5×10）人舀完，也就是50人用1小时才能舀完。通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：（5×10—12×3）÷（10—3）=2（人）已漏进的水：（12—2）×3=30（份）已漏进的水加上2小时漏进的水，需多少人1小时完成：30+2×2=34（人）用2小时来舀完这些水需要：34÷2=17（人）例题10：水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？解析：5台20天原有水+20天入库量6台15天原有水+15天入库量？台6天-原有水+6天入库量设1台1天抽水量为1，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90每天入库量(100-90)÷(20-15)=220天入库2×20=40，原有水100-40=606天的总水量60+2×6=7272÷6=12（台）例题11：某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全警戒线，上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？解析：4个设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。（1）水库中每小时增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水库中原有的超过安全线的水量为：1×30-0.5×30＝15（份）（3）在5.5小时内共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份）（4）至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值）六年级奥数3.23例题12：现有速度不变的甲、乙两车，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，5小时后能追上，如果甲车以现在的速度去追乙车，3小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追，几小时后能追上乙车？解析：设甲车现在的速度为每小时行单位“1”，那么乙车的速度为：（2×5-3×3）÷（5-3）=0.5乙车原来与甲车的距离为：2×5-0.5×5＝7.5所以甲车以现在的速度去追，追及的时间为：7.5÷（1-0.5）=15（小时）练习题1.有一片草地，每天都在匀速生长，这片草可供16头牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？2.一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？3.有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？4.因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此