气体分子运动论和热力学基础之气体压强的产生(动画)

{范例8.1}气体压强的产生(动画)气体的压强是大量分子的对器壁的碰撞产生的，求证：压强的公式为[证明]一个分子对器壁的碰撞是断续的，它什么时候与器壁发生碰撞，在什么地方发生碰撞，给器壁施加了多大的冲量都是偶然的。213pnmv其中，m是分子的质量，n是分子数密度，速度平方的平均值。2v进而求证：分子的平均平动动能为k32kT不考虑分子之间的碰撞，演示分子运动的动画。但是大量分子时时刻刻与器壁碰撞，在宏观上就产生持续的压力，单位面积上的压力就是压强。xmvivixviyviz如图所示，取垂直于容器壁指向外侧的方向为x轴正向，设容器中理想气体分子的质量为m，某分子的速度为vi，三个分量分别为vix，viy，viz。{范例8.1}气体压强的产生(动画)气体的压强是大量分子的对器壁的碰撞产生的，求证：压强的公式为213pnmv其中，m是分子的质量，n是分子数密度，速度平方的平均值。2v进而求证：分子的平均平动动能为k32kT不考虑分子之间的碰撞，演示分子运动的动画。由于碰撞是完全弹性的，所以碰撞前后y和z方向的速度分量保持不变，x方向的速度分量由vix变为-vix。根据动量定理，分子所受器壁的冲量为-mvix-(mvix)=-2mvix。根据牛顿第三定律，分子施加给器壁的冲量为Ii=2mvix。如图所示，在容器壁上取一面积元dA，在一段时间间隔dt内，分子恰好与器壁发生碰撞时运动的距离为dli=vixdt。{范例8.1}气体压强的产生(动画)这个距离和面积元形成的柱体的体积为dVi=dlidA=vixdtdA。在所有以速度vi运动的分子中，只有位于柱体内的分子才能与器壁发生碰撞。单位体积内以速度vi运动的分子数为ni，所以柱体内这种分子数为dNi=nidVi=nivixdtdA。xdli=vixdtdAdAdVi这些分子施加给器壁的冲量为dIi=2mvixdNi=2mnivix2dtdA对所有速度求和即可求得所有分子施加给面积元的总冲量dI。但是速度条件限制为vix0，这是因为vix0的分子背离dA运动，在dt时间内不会与dA发生碰撞。2(0)(0)dd2dd.ixixiiixivivIImnvAt可得{范例8.1}气体压强的产生(动画)当气体处于平衡态时，气体分子朝x轴正向和负向运动的机会均等，平均来说，vix0和vix0的分子各占一半。因此，将上式右边除以2就可以取消速度限制这就是一群分子施加给器壁的冲量。根据冲量的定义可得气体施加给器壁的压力为dI/dt，所产生的压强为2(0)(0)dd2ddixixiiixivivIImnvAt2dddiixiImnvAt2d=dd.iixiIpmnvtAxdli=vixdtdAdAdVi{范例8.1}气体压强的产生(动画)气体处于平衡态时，x方向速度平方的平均值为由于所以从而证得2iixipmnv22()/xiixivnvn2222xyzvvvv22/3xvv2xpnmv213nmv可见：气体分子的质量越大，速度平方的平均值越大，单位体积内分子的个数越多，气体产生的压强就越大。从公式的推导过程可知：压强是大量分子集体行为的宏观表现，是一个统计结果，单个分子不存在压强的概念。xdli=vixdtdAdAdVi{范例8.1}气体压强的产生(动画)根据阿佛加德罗定律p=nkT，联立上式可得这是方均根速率。分子的平均平动动能为213pnmv结果说明：大量分子的平均平动动能与绝对温度成正比，与气体种类无关。气体的温度是大量气体分子平均平动动能的量度，是大量分子无规则热运动的集体表现，具有统计的意义，单个分子或少数几个分子是没有温度概念的。23kTvm2k12mv32kT这就是温度的微观实质。xdli=vixdtdAdAdVi在一个平面上取1000个分子，初始状态如图所示，箭杆表示分子运动的方向和相对大小，但是第一个分子例外，其箭杆特别长。分子运动有快有慢，每时每刻都有分子与器壁发生碰撞，从而产生持续的压强。当分子运动时，箭杆指示了第一个分子的运动方向。