线性空间的定义与性质

§6.1线性空间的定义与性质一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推广.线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题.定义:设V是一个非空集合,R为实数域.如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一个元素V与之对应,称为与的和(简称加法运算),记作=+.若对于任一数R与任一元素V,总有唯一的元素V与之对应,称为数与的积(简称数乘运算),记作=.如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):(1)加法交换律:+=+;(2)加法结合律:(+)+=+(+);(3)零元素:存在OV,对任一向量,有+O=;(4)负元素:对任一元素V,存在V,有+=O,记=–;(5)1=;(6)数乘结合律:k(l)=(lk);(7)数乘对加法的分配律:k(+)=k+k;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)=k+l.设,,,OV,1,l,kR,说明1.凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运算统称为线性运算.说明2.向量(线性)空间中的元素称为向量,但不一定是有序数组.说明3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加,乘运算,则只需检验运算的封闭性.线性空间的判定方法:例1:实数域上的全体mn矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间,记作Rmn.Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.例2:次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n,即P[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,···,anR}对通常多项式加法,数乘构成向量空间.通常的多项式加法,数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律.实际上对p(x)=a0+a1x+···+anxn,q(x)=b0+b1x+···+bnxnP[x]n,R,=(a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn)=(a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnp(x)+q(x)=(a0+a1x+···+anxn)p(x)=a0+a1x+···+anxnP[x]n,所以P[x]n对线性运算封闭.例3:次数等于n的多项式的全体记作Q[x]n,即Q[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,···,anR,an0}对于通常的多项式加法,数乘不构成向量空间.多项式加法,数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运算的封闭性.实际上P[x]n,对p(x)=a0+a1x+···+anxnQ[x]n,0R,0p(x)=0(a0+a1x+···+anxn)=0+0x+···+0xn=0Q[x]n.所以Q[x]n对线性运算不封闭.例4:正弦函数的集合S[x]={s(x)=Asin(x+B)|A,BR}对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.对s1(x)=A1sin(x+B1),s2(x)=A2sin(x+B2)S[x],R,由于,s1(x)+s2(x)=A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)=(a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)=Asin(x+B)=(a1+a2)cosx+(b1+b2)sinxS[x],s1(x)=A1sin(x+B1)=(A1)sin(x+B1)S[x],所以,S[x]是一个线性空间.例5:在区间[a,b]上全体实连续函数构成的集合记为C[a,b],对函数的加法和数与函数的数量乘法,构成实数域上的线性空间.(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加,乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.例6:正实数的全体记作R+,在其中定义加法及乘数运算为:ab=ab,a=a,(R,a,bR+)验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线性空间.证明:对任意a,bR+,R,ab=abR+,a=aR+,所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.下面验证八条线性运算规律:对任意a,b,cR+,k,lR,(1)ab=ab=ba=ba;(2)(ab)c=(ab)c=(ab)c=a(bc)=a(bc)=a(bc);(3)存在零元1R+,对任意aR+,有a1=a1=a;(4)对任一元素aR+,存在负元素a-1R+,有aa–1=aa–1=1;(5)1a=a1=a;(6)k(la)=kal=(al)k=akl=(kl)a;(7)k(ab)=k(ab)=(ab)k=akbk(8)(k+l)a=ak+l=akal=akbk=kakb;所以,R+对所定义的运算构成线性空间.=akal=kala.对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘:(x1,x2,···,xn)T=(0,0,···,0)T不构成线性空间.例7:n元实有序数组组成的全体Sn={x=(x1,x2,···,xn)T|x1,x2,···,xnR}但1x=0x,故不满足第(5)条运算规律.即所定义的运算不是线性运算,所以Sn不是线性空间.显然,Sn对运算封闭.二、线性空间的性质证明:假设01,02是线性空间V中的两个零元素.1.零元素是唯一的.则对任何V有,+01=,+02=,由于01,02V,则有02+01=02,01+02=01.所以01=01+02=02+01=02.则有+=0,+=0,2.负元素是唯一的.证明:设的负元素为与,所以=.=+0=+(+)=(+)+=(+)+=0+因此,将向量的负元素记为–.证明:因为+0=1+03.0=0;(–1)=–;0=0.则由零元素的唯一性得:0=0=.=1=(1+0)因为+(–1)=1+(–1)=[1+(–1)]=0=0.则由负元素的唯一性得:(–1)=–.0=[+(–1)]=+(–)=0=0.=[+(–)]4.如果=0,则=0或=0.证明:如果0,(),0011又那么,().1)1(1所以,=0.故结论成立.三、线性空间的子空间定义2:设V是一个线性空间,L是V的一个非空子集,如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间,则称L为V的子空间.定理:线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是:L对于V中的线性运算封闭.证明:由于L是线性空间V的子空间,则由定义知,L对于V中的线性运算封闭.反之,由于L是线性空间V的非空子集,则L中的元素必为V中的元素.则L中的元素的线性运算就是V中元素在V中的运算,又由于L对于V中的线性运算封闭,因此,八条运算律中(1),(2),(5),(6),(7),(8)显然成立,故只需验证(3),(4)两条成立,即零元素0在L中,且L中元素的负元素也在L中.对任意的L,则0R,由运算的封闭性知:0L,而0=0,故0L,从而(3)成立.再由(–1)R,则(–1)L,且+(–1)=0,所以的负元素就是(–1),从而(4)成立.所以L是线性空间V的子空间.;,,001)1(1RdcbdcbW.,,,0000)2(2++RcbacbacbaW例8:线性空间R23的下列子集是否构成R23的子空间?为什么?解(1):W1不构成子空间.因为对,0000011WBA1Rcbacba++,,,0有+000002BA即W1对矩阵加法不封闭,故不构成R23的子空间.,0000002W对任意2222111000,000WcbaBcbaA有于是+++[phone]ccbbaaBA解(2):因故W2非空.a1+b1+c1=0,a2+b2+c2=0,满足(a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0,因此,有A+BW2,即W2对加法封闭.对任意的kR,有,000111kckbkakA2W1.有ka1+kb1+kc1=k(a1+b1+c1)=0,因此,有kAW2,即W2对数乘封闭.从而,W2构成R23的子空间.四、小结线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是通常的向量,也可以是矩阵,多项式,函数等各种各样的研究对象.线性空间是一个集合;对所定义的加法及数乘运算封闭;所定义的加法及数乘符合线性运算.线性空间是二维,三维几何空间及n维向量空间的推广,它在理论上具有高度的抽象性和概括性.