保险精算学期末复习题目

1．李华1990年1月1日在银行帐户上有5000元存款，（1）在每年10%的单利下，求1994年1月1日的存款额。（2）在年利率8%的复利下，求1994年5月1日的存款额。解：（1）5000×（1+4×10%）=7000（元）（2）5000×（1+10%）4.33=7556.8（元）2．把5000元存入银行，前5年的银行利率为8%，后5年年利率为11%，求10年末的存款累计额。解：5000（1+8%）5×（1+11%）5=12385（元）3．李美1994年1月1日在银行帐户上有10000元存款。（1）求在复利11%下1990年1月1日的现值。（2）在11%的折现率下计算1990年1月1日的现值。解：（1）10000×（1+11%）-4=5934.51（元）（2）10000×（1-11%）4=6274.22（元）4．假设1000元在半年后成为1200元，求⑴)2(i，⑵i,⑶)3(d。解：⑴1200)21(1000)2(i；所以4.0)2(i⑵2)2()21(1ii；所以44.0i⑶nnmmnddimi)1()1(1)1()(1)(；所以，13)3()1()31(id；34335.0)3(d5．当1n时，证明：iiddnn)()(。证明：①)(ndd因为，3)(32)(2)(10)()()(1)1(1ndCndCndCCnddnnnnnnnnn所以得到，)(ndd；②)(nd)1()(mnemd；mmCmCmCmennnm1)()()(1443322所以，)]1(1[)(mmdn③)(niininn1]1[)(，即，)1ln()1ln()(ininn所以，)1()(nneni④iin)(ininn1]1[)(，)(2)(2)(10)(1)(1]1[nnnnnnnniniCniCCni所以，iin)(6．证明下列等式成立，并进行直观解释：⑴nmmnmavaa；解：ivanmnm1，ivamm1，ivvivvavnmmnmnm1所以，nmnmmmnmmaivvvava1⑵nmmnmsvaa；解：ivanmnm1，ivamm1，ivvsvnmmnm所以，nmnmmmnmmaivvvsva1⑶nmmnmaiss)1(；解：iismm1)1(，iiiiiisimnmnmnm)1()1(1)1()1()1(所以，nmmnmmnmmsiiiiais)1()1(1)1()1(⑷nmmnmaiss)1(。解：（同上题）略。7．某人今年30岁，其计划每年初存300元，共存30年建立个人存款能从60岁退休开始每年年末得到固定金额，共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12%，求每年能取的养老金额。解：210220211012020210301)1()1(1)1()1(iiiiisiss所以60岁时存款有5.5975930030s（元）由此知，2020saX，可得X=7774.12（元）8．某单位在20年内每年存入银行5000元建立职工奖励基金。从存入最后一笔款后的第2年起，每年提取固定金额奖励一名有突出贡献的职工，这种奖励形式将永远持续下去。假设存款的利率为8%，求每次能够提取的最大金额。解：82.2288095000120siXAX。所以79.18304X（元）9．证明：⑴nnnasaia1；证明：nnnnaiiivva11iis1)1(1，所以nnasa1⑵nnea1；⑶1nnes。证明：11)(1)1(nnnneeis10．假设每年第一年收付200元，以后每隔一年增加收付100元，增加到一次收付1000元时不在增加，并一直保持每年1000元的水平连续收付。假设年利率为12%，求这一年金的现值。解：94.436211000)1(8100)1(1001000)(100100988191viiiaiaIaaa1．依据生命表的基础填充下表：010001000.90.119001505/61/627501500.80.236003000.50.543001800.40.6512012001603.已知)1201(1000xlx，计算：⑴0l，120l，33d，3020p，2030q；⑵25岁的人至少再活20，最多活25年的概率；⑶三个25岁的人均存活到80岁的概率。解：⑴1000)12001(10000l；0)1201201(1000120l9730503020llp；3.02050202030lllq⑵19125504525520lllq⑶074646449.0)198()(3325802555llp4．若)(100000xcxclx，4400035l，求：⑴c的值；⑵生命表中的最大年龄；⑶从出生存活到50岁的概率；⑷15岁的人在40～50岁之间死亡的概率。解：⑴44000)3535(10000035ccl。所以，c=90⑵0)9090(100000xxlx，所以，90⑶134050050llp⑷32155040151052lllq。5．证明并作直观解释：⑴xmnxnxmnppq；证明：xmnxnxmnxxnxxmnxnxxmnpplllllllq⑵nxxnxnqpq；证明：nxxnnxnxxnxxnxxnxnxxnqplllllllllq11⑶nxmxnxmnppp。证明：nxmxnnxmnxxnxxmnxxmnppllllllp6．证明：⑴xxtxtxldtl0；⑵xtxxtdtp01；⑶)(txxxtxtppx；⑷txxtxtppt。证明：⑴xxxxxxtxtxllllldtl00⑵xxxxxxtxxxtxtxxtxtxxtllldlldlllldtp0001)(1111；⑶)()()()(2txxxtxxtxtxxtxxtxxtxxtxxxtxxtxxtplDllDllllDllDlllDllDlllxpx⑷txxttxtxxtxxtxxtxxtplDllllDlllxpt)(。7．分别在死亡均匀分布，死亡力恒定和鲍德希假设下，用课本附表1给出的生命表计算：⑴2541q；⑵40215q；⑶3150。解：⑴00030575.015.9565049802.1164112525252541ldqtpqxt略。8．若774640l，768141l，计算4140：⑴死亡均匀分布假设；⑵鲍德希假设；⑶假设xlx1001000。解：⑴008409068.0140404140qtq；⑵008426834.0,140414140ellptepxtxt可令⑶008444573.0)1(14140xxqtq。9．证明在鲍德希规律下，xnq与n无关。证明：xxsnxsnxsqxxsxn1)()1()(1)(所以，xnq与n无关。1.某人10岁买了定期生存保险，这一保险使其从18岁到25岁每年得到2000元生存保险金，以附表2转换函数值计算这一年金现值。解：5.45522775.0200020002000101881018101088NNNa（元）2．证明下列等式成立，并解释其含义。⑴1xxxavpa；证明：111xxxxxxxxxavpaDDNDNa⑵11xxxavpa；证明：11xxxavpa所以，11xxxavpa⑶)1(::xnnxnxEaa；证明：nxxnxxxnXnxxxxnXxnxxxnnxaDNNDDNDNDDDNNEa:1111:)()1()1(⑷nxxnnxnapva；证明：nxxnnnxnxxnnxnxnxxnxnxxnapvDNpvEDNEDNa111⑸nmxxmmmxmnxapvaa:::；证明：⑹11)1(xxxaiap证明：1111111111)1(xxxxxxxxxxxxxxaiDpvNpDENpDNpap3．某人在50岁时以50000元的趸缴净保费购买了每月给付k元的生存年金。假设购买后次月开始给付，求k值。解：62.33850000)241126683.12(12)122112(121250)12(50kkakak4．给付50岁的人每月200元，第一次从60岁开始，共付10年的生存年金转换函数表达式。解：)2413(24002400240070605010)12(10:605010)12(501010aaEaEa7．以转换函数表达下面变动年金的现值。对（x）第一年末给付1000元，以后每年比上年增加给付500元，，当年给付金额达到5000元时，又以每年1000元的幅度递减，直到1000元后保持不变，直到被保险人死亡为止。解：14144:998:1000)(1000)(500500xxxavDavIav8．假设对所有x，有xxprp)1(，证明以利率i和xp为基础计算的终身年金现值与以rrii1和xp为基础计算的终身年金现值相等。解：以',xpi为计算基础以rrii1'、xp计算1．假设10.0),1151(1000ixlx，求50岁的人投保100000元终身寿险的精算现值。解：)1(11510001tlldtxxx2．某保单规定，若被保险人在投保后20年内死亡，则在第20年末给付1单位保险金，若被保险人在投保20年以后死亡，则在死亡年年末给付1单位保险金。写出对（x）的保单精算现值的表达式。解：3．某人在30岁时投保了10000元延期25年的定期寿险，求这一保单的精算现值。解：xnmxmxxtnmmttnxmDMMqvA1:所以